Soru:
Rakamları farklı dört basamaklı \( 5a3b \) sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 Önce 11 ile bölünebilme kuralını yazalım, sonra rakamların farklı olma şartını ve en büyük toplamı düşünelim.
- ➡️ Sayımız: 5 a 3 b
- ➡️ Rakamları sağdan sola işaretleyelim: (b), -(3), +(a), -(5)
- ➡️ Kural gereği: +b -3 +a -5 = 0 veya 11'in katı olmalı.
- ➡️ Denklemi kuralım: a + b - 8 = 0 veya a + b - 8 = ±11, ±22,...
- ➡️ a ve b birer rakam olduğu için a+b en az 0, en fazla 18 olabilir. Bu durumda a+b-8 ifadesi -8 ile 10 arasında değer alır. Bu aralıkta 0 veya 11 veya -11 olabilir.
- ➡️ 1. Durum: a + b - 8 = 0 → a + b = 8
- ➡️ 2. Durum: a + b - 8 = 11 → a + b = 19 (a ve b rakam olduğu için mümkün değil, maksimum 18)
- ➡️ 3. Durum: a + b - 8 = -11 → a + b = -3 (Mümkün değil)
- ➡️ Demek ki a + b = 8 olmalı. Ancak soruda rakamları farklı deniyor. a+b=8 ve sayı 5a3b şeklinde. a ve b rakamları hem 8 toplamını verecek hem de 5 ve 3'ten farklı olacak.
- ➡️ a+b=8 olan ve her ikisi de {5,3} kümesinde olmayan en büyük (a,b) ikilisi nedir? (8,0) ikilisi: a=8, b=0. Rakamlar (5,3,8,0) birbirinden farklı. Bu geçerli bir çözümdür ve toplam 8+0=8'dir.
- ➡️ Daha büyük bir toplam mümkün mü? a+b zaten 8 olmak zorunda. Yani en büyük toplam 8'dir.
✅ \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer 8'dir.
