Soru:
\( P(x) = ax^2 + bx + c \) polinomu için \( P(1) = 4 \), \( P(2) = 9 \) ve \( P(3) = 16 \) olduğuna göre, a, b ve c katsayılarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Verilen koşulları kullanarak bir denklem sistemi oluşturacağız.
- ➡️ \( P(1) = 4 \) → \( a(1)^2 + b(1) + c = 4 \) → \( a + b + c = 4 \) (1. Denklem)
- ➡️ \( P(2) = 9 \) → \( a(4) + b(2) + c = 9 \) → \( 4a + 2b + c = 9 \) (2. Denklem)
- ➡️ \( P(3) = 16 \) → \( a(9) + b(3) + c = 16 \) → \( 9a + 3b + c = 16 \) (3. Denklem)
- ➡️ (2) denklemi ile (1) denklemini taraf tarafa çıkaralım: \( (4a+2b+c) - (a+b+c) = 9-4 \) → \( 3a + b = 5 \) (4. Denklem)
- ➡️ (3) denklemi ile (2) denklemini taraf tarafa çıkaralım: \( (9a+3b+c) - (4a+2b+c) = 16-9 \) → \( 5a + b = 7 \) (5. Denklem)
- ➡️ (5) denklemi ile (4) denklemini taraf tarafa çıkaralım: \( (5a+b) - (3a+b) = 7-5 \) → \( 2a = 2 \) → \( a = 1 \)
- ➡️ \( a = 1 \) değerini (4) denkleminde yerine koyalım: \( 3(1) + b = 5 \) → \( b = 2 \)
- ➡️ \( a = 1 \) ve \( b = 2 \) değerlerini (1) denkleminde yerine koyalım: \( 1 + 2 + c = 4 \) → \( c = 1 \)
✅ Sonuç olarak, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 1 \) bulunur. Polinomumuz \( P(x) = x^2 + 2x + 1 \)'dir.
