Soru:
\( \frac{3x-5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \) eşitliği bir polinom eşitliğidir. Buna göre A ve B değerlerini bulunuz.
Çözim:
💡 Bu, basit kesirlere ayırma yöntemidir. Eşitliğin her iki tarafını paydaların ortak katı olan \( (x-1)(x+2) \) ile çarparak polinom eşitliği elde ederiz.
- ➡️ Her iki tarafı \( (x-1)(x+2) \) ile çarpalım: \( 3x - 5 = A(x+2) + B(x-1) \)
- ➡️ Sağ tarafı düzenleyelim: \( 3x - 5 = Ax + 2A + Bx - B = (A+B)x + (2A - B) \)
- ➡️ Polinom eşitliğinden katsayıları karşılaştıralım:
x terimlerinin katsayıları: \( A + B = 3 \) (1. Denklem)
Sabit terimler: \( 2A - B = -5 \) (2. Denklem)
- ➡️ İki denklemi toplayalım: \( (A+B) + (2A-B) = 3 + (-5) \) → \( 3A = -2 \) → \( A = -\frac{2}{3} \)
- ➡️ \( A \) değerini (1) denkleminde yerine koyalım: \( -\frac{2}{3} + B = 3 \) → \( B = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \)
✅ Sonuç olarak, \( A = -\frac{2}{3} \) ve \( B = \frac{11}{3} \) bulunur.
