Soru:
Çevrel çemberinin merkezi O noktası olan bir ABC üçgeninde, [BC] kenarının kenar orta dikmesi çemberi D noktasında kesiyor (D, B ve C'den farklı). \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{BDC})\) kaç derecedir?
Çözüm:
💡 Bu soruda çevrel çember, merkez ve çevre açı ilişkilerini kullanacağız.
- ➡️ Bir üçgende kenar orta dikmelerin kesişim noktası çevrel çemberin merkezidir. Yani O noktası, [BC]'nin kenar orta dikmesi üzerindedir.
- ➡️ [BC]'nin kenar orta dikmesi, çevrel çemberi D noktasında kestiğine göre, D noktası da bu doğru üzerindedir. Yani O, D ve [BC]'nin orta noktası M doğrusaldır.
- ➡️ \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ\) ise, aynı yayı gören merkez açı (\(m(\widehat{BOC})\)) onun iki katıdır. \(m(\widehat{BOC}) = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\).
- ➡️ O, çemberin merkezi olduğundan \(|OB| = |OC| = |OD|\)'dir. BOC ikizkenar üçgeninde tepe açısı \(140^\circ\) ise, taban açılarından her biri \((180^\circ - 140^\circ)/2 = 20^\circ\)'dir.
- ➡️ Şimdi BDC açısını bulmaya çalışalım. D noktası, [BC]'nin kenar orta dikmesi üzerinde ve çember üzerinde olduğu için, \(|DB| = |DC|\)'dir. Yani BDC üçgeni ikizkenardır.
- ➡️ \(\widehat{BDC}\) açısı, BDC üçgeninin tepe açısıdır. Bu açıyı bulmak için gördüğü BC yayının ölçüsüne bakalım. \(\widehat{BDC}\) çevre açıdır ve gördüğü yay BC yayıdır (küçük yay). BC yayının ölçüsü, merkez açı olan \(\widehat{BOC}\)'ye eşittir, yani \(140^\circ\).
- ➡️ Bir çevre açı gördüğü yayın yarısına eşittir. O halde, \(m(\widehat{BDC}) = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ\).
✅ Sonuç: \(m(\widehat{BDC}) = 70^\circ\)'dir.
