Soru:
\( \log_2 (x^2 - 4) - \log_2 (x - 2) = 3 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Önce sol tarafı tek bir logaritma haline getirip, sonra logaritmadan kurtulacağız.
- ➡️ Çıkarma kuralını uygulayalım: \( \log_2 (x^2 - 4) - \log_2 (x - 2) = \log_2 \left( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \right) \)
- ➡️ Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Yerine koyalım: \( \log_2 \left( \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \right) = \log_2 (x+2) \)
- ➡️ Denklem artık \( \log_2 (x+2) = 3 \) şeklindedir. Logaritmadan kurtulmak için \( 2^3 = x + 2 \) yazabiliriz.
- ➡️ \( 8 = x + 2 \) → \( x = 6 \)
- ➡️ Kontrol: Logaritmanın tanımlı olması için içi pozitif olmalı. \( x=6 \) için \( \log_2 (32) \) ve \( \log_2 (4) \) tanımlıdır.
✅ Sonuç: \( x = 6 \)
