Soru:
Aşağıdaki ifadeyi tek bir logaritma olarak yazınız ve mümkünse sadeleştiriniz: \( \ln(x+1) - \ln(x^2 - 1) \)
Çözüm:
💡 Doğal logaritma (ln) için de aynı kurallar geçerlidir. İfadeyi tek logaritma haline getirip sadeleştireceğiz.
- ➡️ Çıkarma kuralını uygulayalım: \( \ln(x+1) - \ln(x^2 - 1) = \ln \left( \frac{x+1}{x^2 - 1} \right) \)
- ➡️ Paydayı çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
- ➡️ Yerine koyalım: \( \ln \left( \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \right) = \ln \left( \frac{1}{x-1} \right) \)
- ➡️ Bu ifade aynı zamanda \( \ln(1) - \ln(x-1) \) şeklinde de yazılabilir, ancak bizden tek logaritma istendiği için \( \ln \left( \frac{1}{x-1} \right) \) veya \( -\ln(x-1) \) sonucu da doğrudur.
✅ Sonuç: \( \ln \left( \frac{1}{x-1} \right) \) veya \( -\ln(x-1) \)
