Soru:
\( f(x) = |x + 2| + |x - 1| \) fonksiyonunun en küçük değerini ve bu değerin hangi x aralığında/alındığını bulunuz.
Çözüm:
💡 İki mutlak değerli ifadenin toplamının minimumu, kritik noktalar arasında sabit bir değer alabilir.
- ➡️ Kritik Noktalar: İçlerini sıfır yapan x değerleri: \( x = -2 \) ve \( x = 1 \).
- ➡️ Parçalı Fonksiyonu İnceleyelim:
- I. Bölge: \( x < -2 \) ise
\( |x+2| = -(x+2) \), \( |x-1| = -(x-1) \)
\( f(x) = -(x+2) - (x-1) = -2x -1 \)
Bu bölgede fonksiyon azalan mı? \( f'(x) = -2 < 0 \) → Evet, azalan. O halde en küçük değer bu bölgenin sağ ucunda (\( x \to -2^{-} \)) aranır.
- II. Bölge: \( -2 \leq x < 1 \) ise
\( |x+2| = x+2 \), \( |x-1| = -(x-1) \)
\( f(x) = (x+2) - (x-1) = 3 \)
Bu bölgede fonksiyon sabit ve değeri 3'tür.
- III. Bölge: \( x \geq 1 \) ise
\( |x+2| = x+2 \), \( |x-1| = x-1 \)
\( f(x) = (x+2) + (x-1) = 2x + 1 \)
Bu bölgede fonksiyon artan (\( f'(x) = 2 > 0 \)). En küçük değer bu bölgenin sol ucunda (\( x=1 \)) aranır.
- ➡️ Değerleri Karşılaştıralım:
- \( x \to -2^{-} \) için \( f(x) \to -2(-2)-1=3 \)
- \( -2 \leq x < 1 \) için \( f(x) = 3 \)
- \( x = 1 \) için \( f(1) = 2(1)+1=3 \)
Tüm değerler 3'ten küçük değildir.
✅ Fonksiyonun minimum değeri 3'tür ve bu değere \( [-2, 1] \) kapalı aralığındaki tüm x değerleri için ulaşılır.
