Soru:
\( f(x) = \frac{|x|}{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi, görüntü kümesi ve süreksiz olduğu noktayı inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Bu fonksiyon işaret fonksiyonu (signum) olarak da bilinir. Paydada \( x \) olduğu için \( x = 0 \) noktası tanımsızdır.
- ➡️ Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) (Sıfır hariç tüm reel sayılar)
- ➡️ Fonksiyonu parçalı yazalım:
- ➡️ \( x > 0 \) için \( |x| = x \) → \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \)
- ➡️ \( x < 0 \) için \( |x| = -x \) → \( f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \)
- ➡️ Görüntü Kümesi: \( \{-1, 1\} \)
- ➡️ \( x=0 \) noktasında fonksiyon tanımlı olmadığı için bu noktada süreksizdir. Bu, bir kaldırılabilir süreksizlik değil, bir sıçrama süreksizliğidir.
✅ Fonksiyon, \( x=0 \)'da süreksizdir ve grafiği (-1, 1) noktalarından oluşan iki ayrı yatay çizgi şeklindedir (sıfır dahil değil).
