Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( a = 7 \text{ cm} \), \( b = 5 \text{ cm} \) ve \( \sin A = \frac{7}{10} \) olarak veriliyor. Buna göre, \( \sin B \) değerini bulunuz. Ayrıca, bu bilgilerle \( \angle A \) ve \( \angle B \) açılarının tek bir değer mi belirlediğini yoksa iki farklı üçgen olabilir mi (Belirsiz Durum) tartışınız.
Çözüm:
💡 Bu soru bize Sinüs Teoremi'ndeki belirsiz durumu (Ambiguous Case) hatırlatıyor.
- ➡️ 1. Adım: Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \).
- ➡️ 2. Adım: Verilenleri yerine koyalım: \( \frac{7}{\frac{7}{10}} = \frac{5}{\sin B} \).
- ➡️ 3. Adım: Sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{7}{\frac{7}{10}} = 7 \times \frac{10}{7} = 10 \). Yani denklemimiz \( 10 = \frac{5}{\sin B} \) oldu.
- ➡️ 4. Adım: \( \sin B \)'yi çekelim: \( \sin B = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
- ➡️ 5. Adım: Belirsiz Durum Analizi: \( \sin B = \frac{1}{2} \) ise, \( \angle B \) açısı \( 30^\circ \) veya \( 150^\circ \) olabilir. Ancak, bir üçgende iki açının toplamı \( 180^\circ \)'den küçük olmalıdır.
- Eğer \( \angle B = 150^\circ \) ve \( \sin A = 0.7 \) (yaklaşık \( 44.4^\circ \)) ise, açılar toplamı \( 150^\circ + 44.4^\circ = 194.4^\circ > 180^\circ \) olur. Bu bir üçgen olamaz.
- Dolayısıyla, burada sadece \( \angle B = 30^\circ \) durumu geçerlidir.
✅ Sonuç: \( \sin B = \frac{1}{2} \) ve bu bilgilerle sadece bir tane \( ABC \) üçgeni çizilebilir (\( \angle B = 30^\circ \)). Belirsiz durum oluşmaz.
