Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( a = 2\sqrt{6} \text{ cm} \), \( b = 6 \text{ cm} \) ve \( m(\widehat{A}) = 45^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre \( m(\widehat{B}) \)'nin alabileceği farklı değerleri (derece cinsinden) bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda belirsiz durum (Ambiguous Case) söz konusudur. Verilen açı dar açı olduğu ve karşısındaki kenar, diğer kenardan küçük olduğu için iki farklı üçgen çizilebilir.
- ➡️ Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( \frac{2\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin B} \).
- ➡️ \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) yazalım: \( \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sin B} \).
- ➡️ Sol tarafı hesaplayalım: \( 2\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3} \).
- ➡️ Denklem: \( 4\sqrt{3} = \frac{6}{\sin B} \) → \( \sin B = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- ➡️ \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \) denkleminin çözümleri \( B_1 = 60^\circ \) ve \( B_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)'dir.
- ➡️ Kontrol edelim: Her iki durumda da üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'yi aşmaz.
- \( B = 60^\circ \) iken: \( A + B = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ \), \( C = 75^\circ \) (Geçerli).
- \( B = 120^\circ \) iken: \( A + B = 45^\circ + 120^\circ = 165^\circ \), \( C = 15^\circ \) (Geçerli).
✅ Sonuç: \( m(\widehat{B}) \) açısı \( 60^\circ \) veya \( 120^\circ \) olabilir.
