Soru:
Beş basamaklı \( 34a7b \) sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayı aynı zamanda 9 ile de tam bölünebildiğine göre, \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 4 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının son iki basamağı 4'ün katı ise sayı 4'e tam bölünür.
- ➡️ Sayımız \( 34a7b \). Son iki basamak \( 7b \)'dir. \( 7b \) dört basamaklı bir sayı değil, 7 onlar basamağı, b birler basamağıdır. Yani bu iki basamakla oluşan sayı \( 70 + b \)'dir.
- ➡️ \( 70 + b \) ifadesinin 4'ün katı olması gerekir. \( b \) bir rakam olduğundan (0,1,2,...,9) bu koşulu sağlayan \( b \) değerlerini bulalım: \( b = 2 \) için \( 72/4=18 \), \( b=6 \) için \( 76/4=19 \). Yani \( b \) değerleri 2 veya 6 olabilir.
💡 9 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise sayı 9'a tam bölünür.
- ➡️ Sayımızın rakamları toplamı: \( 3 + 4 + a + 7 + b = 14 + a + b \).
- ➡️ Bu toplamın 9'un katı olması gerekir, yani \( 14 + a + b = 9k \) (k bir tam sayı).
- ➡️ Durum 1: \( b = 2 \) ise, \( 14 + a + 2 = 16 + a \). \( 16 + a = 18 \) olursa \( a=2 \) bulunur. (9'un diğer katları a'ya rakam olmayan değerler verir).
- ➡️ Durum 2: \( b = 6 \) ise, \( 14 + a + 6 = 20 + a \). \( 20 + a = 27 \) olursa \( a=7 \) bulunur.
✅ İki farklı \((a, b)\) ikilisi bulduk: (2, 2) ve (7, 6). \( a + b \)'nin en büyük değeri için \( a=7 \), \( b=6 \) seçeriz. \( a + b = 7 + 6 = 13 \) olur.
