10. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Question

Bu konuda fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulurken zorlanıyorum. Türevin işaretini incelememiz gerekiyor ama hangi aralıkta artan ya da azalan olduğuna nasıl karar veriyoruz? Grafiğe bakmadan sadece denklemle bulmak bana karmaşık geliyor.

Answer 1

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun grafiğini incelerken, grafiğin sağa doğru gittiğinde (yani x değerleri arttığında) yukarı mı çıktığını, aşağı mı indiğini yoksa sabit mi kaldığını merak ederiz. İşte bu durumu inceleyen kavramlara artan fonksiyon ve azalan fonksiyon denir.

Artan Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım aralığındaki herhangi iki \( x_1 \) ve \( x_2 \) sayısı için;

Eğer \( x_1 < x_2 \) iken \( f(x_1) < f(x_2) \) oluyorsa, bu fonksiyona artan fonksiyon denir.

Anlamı: x değerleri artarken, fonksiyonun değerleri (y değerleri) de artar. Grafik sağa doğru yükselir.

Azalan Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım aralığındaki herhangi iki \( x_1 \) ve \( x_2 \) sayısı için;

Eğer \( x_1 < x_2 \) iken \( f(x_1) > f(x_2) \) oluyorsa, bu fonksiyona azalan fonksiyon denir.

Anlamı: x değerleri artarken, fonksiyonun değerleri (y değerleri) azalır. Grafik sağa doğru alçalır.

Sabit Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım aralığındaki her \( x_1 \) ve \( x_2 \) için \( f(x_1) = f(x_2) \) ise, bu fonksiyona sabit fonksiyon denir. Grafik, x eksenine paralel bir doğrudur.

Nasıl Anlarız? (Türevsiz Yöntem)

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğunu anlamak için şu adımlar izlenebilir:

• Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir.
• Bu aralıkta, \( x_1 < x_2 \) olacak şekilde iki farklı sayı seçilir.
• \( f(x_1) \) ve \( f(x_2) \) değerleri karşılaştırılır.
• Eğer \( f(x_1) < f(x_2) \) ise fonksiyon artandır.
• Eğer \( f(x_1) > f(x_2) \) ise fonksiyon azalandır.

Örnek:

\( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunu inceleyelim.

\( x_1 < x_2 \) olsun. Her tarafı 2 ile çarpıp 1 ekleyelim:
\( 2x_1 + 1 < 2x_2 + 1 \)
Bu da \( f(x_1) < f(x_2) \) demektir.

O halde, \( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonu tüm gerçek sayılarda (R) artan bir fonksiyondur.

Uyarılar

• Bir fonksiyon her zaman artan veya azalan olmak zorunda değildir. Farklı aralıklarda artan ve azalan olabilir.
• Fonksiyonun davranışını belirtirken mutlaka hangi aralıkta olduğunu söylemek gerekir. Örneğin, "Fonksiyon (0, ∞) aralığında artandır."

Answer 2

10. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyonlar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
(Grafik: x eksenini -2 ve 2 noktalarında kesen, (-∞, 0) aralığında artan, (0, ∞) aralığında azalan bir parabol)
a) (-∞, ∞) aralığında artandır.
b) (-∞, 0) aralığında artan, (0, ∞) aralığında azalandır.
c) (-∞, 0) aralığında azalan, (0, ∞) aralığında artandır.
d) (-∞, ∞) aralığında azalandır.
e) (-2, 2) aralığında sabittir.
Cevap: b
Çözüm: Parabolün tepe noktası (0,4) noktasıdır. Grafik, tepe noktasının solunda (x<0) yukarı doğru çıktığı için artan, sağında (x>0) aşağı doğru indiği için azalandır.

Soru 2: f: R → R, f(x) = -3x² + 12x - 5 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıklar aşağıdakilerden hangisidir?
a) (-∞, 2) artan, (2, ∞) azalan
b) (-∞, -2) artan, (-2, ∞) azalan
c) (-∞, 2) azalan, (2, ∞) artan
d) (-∞, -2) azalan, (-2, ∞) artan
e) Tüm reel sayılarda azalandır.
Cevap: a
Çözüm: f(x) = -3x² + 12x - 5 bir parabol fonksiyonudur. Başkatsayısı -3 < 0 olduğu için grafik aşağı doğru (konkav aşağı) bir paraboldür. Tepe noktasının x koordinatı, x = -b/2a = -12/(2*(-3)) = 2'dir. Buna göre, (-∞, 2) aralığında artan, (2, ∞) aralığında azalandır.

Soru 3: Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonunun türevi olan f'(x) = (x - 1)(x + 4) olarak veriliyor. Buna göre, f fonksiyonu aşağıda verilen aralıkların hangisinde kesinlikle artandır?
a) (-5, -3)
b) (-4, 1)
c) (0, 1)
d) (2, 5)
e) (-2, 0)
Cevap: d
Çözüm: Bir fonksiyonun türevi bir aralıkta pozitif ise fonksiyon o aralıkta artandır. f'(x) = (x - 1)(x + 4) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında, x > 1 için her iki çarpan da pozitif olacağından f'(x) > 0'dır. (2, 5) aralığı, x > 1 koşulunu sağlayan bir aralık olduğu için f fonksiyonu bu aralıkta kesinlikle artandır.