30 - 60 - 90 üçgeni nedir, nasıl çözülür?

Question

30-60-90 üçgeni, açıları 30°, 60° ve 90° olan özel bir dik üçgendir. Bu üçgende kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır: kısa kenar (30° karşısı) x ise, hipotenüs (90° karşısı) 2x, uzun kenar (60° karşısı) ise x√3 olur. Sorularda genellle bu oranları kullanarak eksik kenarı bulmamız istenir, sadece bir kenar verip diğerlerini hesaplamamız yeterli oluyor.

Answer 1

30-60-90 Üçgeni Nedir?

30-60-90 üçgeni, açıları 30°, 60° ve 90° olan özel bir dik üçgendir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran bulunur, bu da problem çözümünü kolaylaştırır.

Kenar Oranları

30-60-90 üçgeninin kenarları aşağıdaki gibi sıralanır:

• Kısa kenar (30° karşısındaki): \( x \)
• Hipotenüs (90° karşısındaki): \( 2x \)
• Uzun kenar (60° karşısındaki): \( x\sqrt{3} \)

Nasıl Çözülür?

30-60-90 üçgeni problemlerini çözmek için şu adımları izleyebilirsiniz:

1. Verilen kenarı belirleyin: Hangi kenarın uzunluğu verildiyse, bunu \( x \) cinsinden ifade edin.
2. Oranları uygulayın: Verilen kenara göre diğer kenarları hesaplamak için yukarıdaki oranları kullanın.
3. İşlemi tamamlayın: Gerekirse \( x \) değerini bulun ve diğer kenarları hesaplayın.

Örnek Problem

Örnek: Bir 30-60-90 üçgeninde hipotenüs 10 cm ise, diğer kenarların uzunlukları nedir?

Çözüm:

• Hipotenüs = \( 2x = 10 \) cm → \( x = 5 \) cm
• Kısa kenar = \( x = 5 \) cm
• Uzun kenar = \( x\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) cm

Answer 2

30 - 60 - 90 Üçgeni Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir 30-60-90 üçgeninin kısa dik kenarı 5 cm ise, hipotenüsünün uzunluğu kaç cm'dir?
a) 5 cm
b) 10 cm
c) 15 cm
d) 20 cm
Cevap: b) 10 cm
Çözüm: 30-60-90 üçgeninde hipotenüs, kısa kenarın 2 katıdır. 5 × 2 = 10 cm.

Soru 2: Hipotenüsü \(12\sqrt{3}\) cm olan bir 30-60-90 üçgeninde, 60°'nin karşısındaki kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6 cm
b) \(6\sqrt{3}\) cm
c) 12 cm
d) \(12\sqrt{3}\) cm
e) 18 cm
Cevap: e) 18 cm
Çözüm: Hipotenüs \(2x\) ise, 60° karşısındaki kenar \(x\sqrt{3}\) olur. \(2x = 12\sqrt{3}\) → \(x = 6\sqrt{3}\). Bu durumda 60° karşısı \(6\sqrt{3} × \sqrt{3} = 18\) cm.