9. Sınıf Gerçek Sayılarda f(x)=±|ax + b|±c Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafikleri Nedir?

Question

Hocam bu fonksiyonların grafiklerini çizerken mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktayı bulup, parçalı şekilde çizmemiz gerekiyor ama ± işaretleri ve eklenen c sabiti kafamı karıştırıyor. Özellikle grafiğin yukarı/aşağı kaymasını ve kolların yönünü nasıl belirleyeceğimizi tam anlayamadım.

Answer 1

Gerçek Sayılarda f(x)=±|ax + b|±c Şeklindeki Fonksiyonların Grafikleri

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, "V" şeklinde olmalarıyla bilinir. Bu tür fonksiyonların grafiklerini çizerken belirli adımları takip etmek işimizi kolaylaştırır.

Grafiği Çizme Adımları

Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizmek için şu adımları izleyebiliriz:

• 1. Adım: Kritik Noktayı Bul
  Mutlak değerin içini sıfır yapan x değerini bul. |ax + b| ifadesi için: \( ax + b = 0 \) denklemini çöz. Bu bize grafiğin "köşe" noktasının x koordinatını verir.
• 2. Adım: Fonksiyonu Parçalara Ayır
  Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif ve negatif olduğu durumlar için fonksiyonu iki ayrı parça halinde (parçalı fonksiyon olarak) yaz.
• 3. Adım: Noktaları Belirle ve Grafiği Çiz
  Kritik noktanın sağındaki ve solundaki değerler için ayrı ayrı en az ikişer nokta bul. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretle ve birleştir.

Örneklerle İnceleyelim

Örnek 1: f(x) = |x - 2|

• Kritik Nokta: |x - 2| ifadesi x=2 için sıfır olur. Köşe noktasının x koordinatı 2'dir.
• Parçalı Fonksiyon:
  \( x \geq 2 \) ise, f(x) = x - 2
  \( x < 2 \) ise, f(x) = -(x - 2) = -x + 2
• Grafik: (2,0) noktasında köşesi olan ve yukarı doğru açılan bir V şekli.
  • x=0 için: f(0) = |0-2| = 2 → (0,2)
  • x=1 için: f(1) = |1-2| = 1 → (1,1)
  • x=2 için: f(2) = |2-2| = 0 → (2,0)
  • x=3 için: f(3) = |3-2| = 1 → (3,1)
  • x=4 için: f(4) = |4-2| = 2 → (4,2)
  Bu noktalar birleştirildiğinde V şekli ortaya çıkar.

Örnek 2: f(x) = -|x + 1| + 3

• Kritik Nokta: |x + 1| ifadesi x=-1 için sıfır olur. Köşe noktasının x koordinatı -1'dir.
• Parçalı Fonksiyon:
  \( x \geq -1 \) ise, f(x) = -(x + 1) + 3 = -x + 2
  \( x < -1 \) ise, f(x) = -(-(x + 1)) + 3 = (x + 1) + 3 = x + 4
  (Dışarıdaki eksi işaretine dikkat edelim.)
• Grafik: (-1, 3) noktasında köşesi olan ve aşağı doğru açılan bir V şekli. (+3, grafiği yukarı kaydırır.)
  • x=-3 için: f(-3) = -|-3+1|+3 = -2+3=1 → (-3,1)
  • x=-2 için: f(-2) = -|-2+1|+3 = -1+3=2 → (-2,2)
  • x=-1 için: f(-1) = -|0|+3 = 3 → (-1,3

Answer 2

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, genellikle "V" şeklindedir. f(x)=±|ax + b|±c şeklindeki bir fonksiyonun grafiğini çizmek için aşağıdaki adımları takip edebiliriz.

1. Mutlak Değerin İçini Sıfır Yapan Kökü Bulma

İlk adım, mutlak değerin içindeki ifadeyi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulmaktır.

|ax + b| ifadesi için: \( ax + b = 0 \) denklemini çözerek \( x = -\frac{b}{a} \) değerini buluruz. Bu nokta, grafiğin "V" şeklini aldığı, yön değiştirdiği noktadır.

2. Fonksiyonu Parçalı (Bölgesel) Olarak Yazma

Bulduğumuz kritik noktaya göre fonksiyonu, mutlak değer içermeyen iki ayrı parçalı fonksiyon şeklinde yazarız.

• x ≥ -b/a için: |ax + b| = ax + b
• x < -b/a için: |ax + b| = -(ax + b)

Bu parçaları, fonksiyonumuzun genel hali olan f(x)=±|ax + b|±c'de yerine koyarız.

3. Grafiği Çizme

Oluşturduğumuz bu iki doğrusal denklemin grafiklerini, kendi tanım aralıklarında çizeriz. Grafik, bu iki doğrunun birleşiminden oluşan bir "V" veya ters "V" şekli olacaktır.

Önemli Noktalar:

• ± işaretleri: Fonksiyonun başındaki "±" işareti, grafiğin yönünü (yukarı veya aşağı açılmasını) belirler. Eğer işaret "-" ise grafik aşağı doğru açılan bir "V" şeklinde olur.
• "c" terimi: Fonksiyonun sonundaki ±c ifadesi, grafiği dikey olarak kaydırır. +c ise yukarı, -c ise aşağı kayar.
• "a" katsayısı: Mutlak değerin içindeki a katsayısı, grafiğin kollarının eğimini (dikliğini veya yatıklığını) belirler. |a| ne kadar büyükse, "V" o kadar dar olur.

Örnek: f(x) = |2x - 4| + 1 Fonksiyonunun Grafiği

Adım 1: Kökü bulalım. \( 2x - 4 = 0 \) ise \( x = 2 \). Kritik noktamız x=2'dir.

Adım 2: Fonksiyonu parçalı yazalım.

• x ≥ 2 için: |2x - 4| = 2x - 4 → f(x) = (2x - 4) + 1 = 2x - 3
• x < 2 için: |2x - 4| = -(2x - 4) = -2x + 4 → f(x) = (-2x + 4) + 1 = -2x + 5

Adım 3: Grafiği çizelim.

• x ≥ 2 aralığında, f(x)=2x-3 doğrusunu çizeriz. Örneğin, x=2 noktası için f(2)=1'dir. (Nokta: (2,1))
• x < 2 aralığında, f(x)=-2x+5 doğrusunu çizeriz. Örneğin, x=0 noktası için f(0)=5'tir. (Nokta: (0,5))

Bu iki doğru parçası, tepe noktası (2,1) olan ve yukarı doğru aç

Answer 3

Gerçek Sayılarda f(x)=±|ax + b|±c Şeklindeki Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafikleri

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, "V" şeklinde olan temel mutlak değer grafiğinin çeşitli dönüşümlerle (kaydırma, yansıma, genişleme/daralma) değiştirilmiş halidir.

Adım Adım Grafik Çizim Yöntemi

Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki adımları takip edebilirsiniz:

• 1. Adım: "Kritik Nokta"yı Bul
  Mutlak değerin içini sıfır yapan x değerini bul. |ax + b| ifadesi için, ax + b = 0 denklemini çöz. \( x = -\frac{b}{a} \) noktası, grafiğin köşe noktası veya dönüm noktası olacaktır.
• 2. Adım: Fonksiyonu Parçalara Ayır
  Mutlak değer, içindeki ifadenin işaretine göre farklı davranır. Bu nedenle fonksiyonu, kritik noktaya göre iki parçalı fonksiyon şeklinde yazabiliriz.
  • \( x \geq -\frac{b}{a} \) ise, |ax + b| = ax + b
  • \( x < -\frac{b}{a} \) ise, |ax + b| = -(ax + b)
• 3. Adım: Grafiği Çiz
  Her bir parça için ayrı ayrı doğru denklemleri yaz ve bu doğruları, tanımlandıkları aralıklarda çiz.

Dönüşümler ve Etkileri

f(x) = ±|ax + b| ± c fonksiyonundaki katsayılar ve sabitler grafiği şu şekilde etkiler:

• |a| Katsayısı: Grafiğin kollarının eğimini belirler.
  • |a| > 1 ise, kollar daralır (daha dik olur).
  • 0 < |a| < 1 ise, kollar genişler (daha yatık olur).
• a'nın İşareti (±): Grafiğin açılış yönünü belirler.
  • f(x) = +|...| ise, V şeklinde (yukarı açılır).
  • f(x) = -|...| ise, ters V şeklinde (aşağı açılır).
• b Sabiti: Grafiği sağa veya sola kaydırır. Köşe noktasının x koordinatını \( -\frac{b}{a} \) yapar.
• c Sabiti: Grafiği yukarı veya aşağı kaydırır. Köşe noktasının y koordinatını etkiler.
  • +c ise, grafik yukarı kayar.
  • -c ise, grafik aşağı kayar.

Örnek: f(x) = |2x - 4| + 1 Fonksiyonunun Grafiği

Adım adım inceleyelim:

1. Kritik Nokta: |2x - 4| ifadesinin içini sıfır yapan değeri bulalım.

   2x - 4 = 0 → 2x = 4 → x = 2

   Köşe noktasının x koordinatı 2'dir.

2. Fonksiyonu Parçalara Ayıralım:
   • x ≥ 2 için: |2x - 4| = 2x - 4 → f(x) = (2x - 4)

Answer 4

Gerçek Sayılarda f(x)=±|ax + b|±c Şeklindeki Fonksiyonların Grafikleri

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri, "V" harfine benzeyen bir şekil oluşturur. Bu tür fonksiyonların grafiğini çizerken adım adım ilerlemek en doğru yoldur.

Grafiği Çizme Adımları

Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizmek için şu adımları takip edebiliriz:

1. Kritik Noktayı Bulma: Mutlak değerin içini sıfır yapan x değerini buluruz.

   |ax + b| ifadesi için: ax + b = 0 denklemini çözeriz.
   x = -b/a (Kritik Nokta)

2. Parçalı Fonksiyonu Yazma: Fonksiyonu, kritik noktaya göre parçalı şekilde (mutlak değersiz olarak) yazarız.
   • x ≥ -b/a için: f(x) = +(ax + b) ± c
   • x < -b/a için: f(x) = -(ax + b) ± c

   Fonksiyonun başındaki ± işareti, bu parçalı ifadeleri de etkiler. Örneğin f(x) = -|x| için her iki parça da - ile çarpılır.

3. Noktaları Belirleme ve Grafiği Çizme: Her bir parça için birkaç nokta hesaplayıp, bu noktaları koordinat sisteminde işaretleriz. Daha sonra bu noktaları birleştirerek grafiği çizeriz. Grafik, kritik noktada bir köşe (tepe noktası) oluşturur.

Örnek: f(x) = |x - 2| + 1 Fonksiyonunun Grafiği

Bu fonksiyonu inceleyelim: f(x) = |x - 2| + 1

1. Kritik Nokta: |x - 2| ifadesinin içini sıfır yapan değeri bulalım.

   x - 2 = 0 ⇒ x = 2 (Kritik noktamız)

2. Parçalı Fonksiyon:
   • x ≥ 2 için: f(x) = (x - 2) + 1 = x - 1
   • x < 2 için: f(x) = -(x - 2) + 1 = -x + 2 + 1 = -x + 3
3. Noktaları Hesaplama ve Grafik:

   x ≥ 2 (Doğru Parçası) için:
   x=2 için: f(2) = 2 - 1 = 1 → (2, 1)
   x=3 için: f(3) = 3 - 1 = 2 → (3, 2)
   x=4 için: f(4) = 4 - 1 = 3 → (4, 3)

   x < 2 (Doğru Parçası) için:
   x=1 için: f(1) = -1 + 3 = 2 → (1, 2)
   x=0 için: f(0) = -0 + 3 = 3 → (0, 3)
   x=-1 için: f(-1) = -(-1) + 3 = 1 + 3 = 4 → (-1, 4)

   Bu noktaları koordinat sisteminde işaretlediğimizde, tepe noktası (2, 1) olan ve yukarıya doğru açılan bir V şekli görürüz. Fonksiyondaki +1 ifadesi, temel V şeklini yukarı doğru 1 birim öteler.

Örnek: f(x) = -|x + 1| Fonksiyonunun Grafiği

Bu fonksiyonu inceleyelim: f(x) = -|x +