Sıralı Cisim Nedir?
Matematikte, özellikle cebir ve analiz alanlarında, sıralı cisim kavramı, hem bir cismin cebirsel yapısını hem de bir sıralama ilişkisini bir arada barındıran temel bir yapıdır.
Cisim ve Sıralama Yapısı
Öncelikle iki kavramı hatırlayalım:
- Cisim: Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfır hariç) işlemlerinin tanımlandığı ve bu işlemlerin belirli kurallara (değişme, birleşme, dağılma özellikleri gibi) uyduğu bir sayı sistemi. En bilindik örnekler Rasyonel Sayılar (ℚ) ve Reel Sayılar (ℝ)'dir.
- Sıralama (≤): Bir küme üzerinde, sayıları "küçük" veya "büyük" olarak karşılaştırmamızı sağlayan bir ilişkidir. Bu ilişki yansımalı, antisimetrik ve geçişken olmalıdır.
Bir sıralı cisim, bu iki yapının birbiriyle uyumlu olduğu bir cisimdir. Yani, sadece bir sıralamamız yok, aynı zamanda bu sıralama cismin cebirsel işlemleriyle "dostça geçinir".
Sıralı Cismin Tanımı ve Aksiyomları
Bir F cismi ve bu cisim üzerinde bir "≤" (küçük eşittir) sıralama bağıntısı verilsin. Bu (F, ≤) ikilisine bir sıralı cisim denir, ancak ve ancak aşağıdaki dört aksiyomu sağlıyorsa:
- Toplamaya Göre Uyumluluk: Eğer \( a \leq b \) ise, her \( c \in F \) için \( a + c \leq b + c \) olur.
Yorum: Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyebilir veya çıkarabiliriz. Örneğin, \( 3 \leq 5 \) ise, \( 3+2 \leq 5+2 \) yani \( 5 \leq 7 \) olur.
- Çarpmaya Göre Uyumluluk (Pozitif Elemanlarla): Eğer \( 0 \leq a \) ve \( 0 \leq b \) ise, o zaman \( 0 \leq a \cdot b \) olur.
Yorum: İki pozitif (veya sıfır) sayının çarpımı da pozitiftir (veya sıfırdır).
- Trichotomy (Üçlü Durum) Özelliği: F cismindeki her \( a \) elemanı için aşağıdaki üç durumdan yalnızca ve yalnızca biri doğrudur:
- \( a = 0 \)
- \( 0 < a \) (yani \( a \) pozitiftir)
- \( a < 0 \) (yani \( a \) negatiftir)
Yorum: Her sayı ya sıfırdır, ya pozitiftir, ya da negatiftir. Bu üç durum aynı anda gerçekleşemez.
- Sıralamanın Kısmi Sıralama Değil, Tam Sıralama Olması: F cismindeki herhangi iki \( a \) ve \( b \) elemanı için ya \( a \leq b \) ya da \( b \leq a \)'dır.
Yorum: Cismin herhangi iki elemanını karşılaştırabiliriz. Biri diğerinden kesinlikle küçük olabilir veya eşit olabilirler, ama "karşılaştırılamaz" diye bir durum yoktur.
Önemli Örnekler ve Olmayanlar
- Sıralı Cisim Örnekleri:
- Reel Sayılar (ℝ): En temel ve sezgisel örnektir. Günlük hayatta kullandığımız sayı doğrusu, bir sıralı cisim modelidir.
- Rasyonel Sayılar (ℚ): ℝ'nin bir alt cismi olduğu için, ℝ'den miras aldığı sıralama ile birlikte bir sıralı cisim oluşturur.
- Sıralı Cisim OLMAYAN Örnekler:
- Karmaşık Sayılar (ℂ): Karmaşık sayılar üzerinde "≤" ilişkisini, yukarıdaki aksiyomları sağlayacak şekilde tanımlamak imkansızdır. Örneğin, \( i \) (sanayi birim) sayısı için trichotomy özelliği bozulur. \( i \) ne 0'dır, ne 0'dan büyüktür, ne de 0'dan küçüktür çünkü \( i^2 = -1 \) olur ve bu, çarpmaya göre uyumluluk aksiyomu ile çelişir.
- Sonlu Cisimler (Modulo Aritmetiği): Örneğin modulo 5'te çalışan bir cisimde, 1 sayısını sürekli kendisiyle topladığımızda (1, 2, 3, 4, 0, ...) pozitiflik kavramını tutarlı bir şekilde tanımlayamayız.
Sıralı Cisimlerden Çıkan Bazı Sonuçlar
Sıralı cisim aksiyomları, bize aşağıdaki gibi bildik özellikleri ispatlama imkanı verir:
- Eğer \( a \leq b \) ve \( c \leq 0 \) ise, \( b \cdot c \leq a \cdot c \) olur. (Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafını bir negatif sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir.)
- Her \( a \) elemanı için \( a^2 \geq 0 \)'dır. Buradan özellikle \( 1 > 0 \) sonucu çıkar.
- \( 0 < a < b \) ise, \( 0 < \frac{1}{b} < \frac{1}{a} \) olur.
Sonuç olarak, bir sıralı cisim, üzerinde bildiğimiz "küçüklük-büyüklük" kavramının tüm beklentilerimizi karşıladığı, tutarlı bir cebirsel yapıdır. Analizin temellerini atmak için bu yapı vazgeçilmezdir.
