Standart birim vektörler (i, j) Test 2

\( \vec{F_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \) ve \( \vec{F_2} = -4\hat{i} + \hat{j} \) kuvvetleri aynı noktaya etki etmektedir. Bileşke kuvvet vektörünün birim vektör cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( \frac{-\hat{i} + 2\hat{j}}{\sqrt{5}} \)
B) \( \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}} \)
C) \( \frac{\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{5}} \)
D) \( \frac{2\hat{i} - 4\hat{j}}{\sqrt{20}} \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, aynı noktaya etki eden iki kuvvet vektörü verilmiş ve bizden bu kuvvetlerin bileşkesinin birim vektör cinsinden ifadesi isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.

• 1. Adım: Bileşke Kuvvet Vektörünü Bulma

  Aynı noktaya etki eden kuvvetlerin bileşkesi, bu kuvvet vektörlerinin toplanmasıyla bulunur. Vektörleri toplarken, $\hat{i}$ bileşenlerini kendi aralarında, $\hat{j}$ bileşenlerini ise kendi aralarında toplarız.

  Verilen kuvvet vektörleri:

  • $ \vec{F_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} $
  • $ \vec{F_2} = -4\hat{i} + \hat{j} $

  Bileşke kuvvet vektörü $ \vec{R} $ olsun:

  $ \vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} $

  $ \vec{R} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (-4\hat{i} + \hat{j}) $

  $ \vec{R} = (2 - 4)\hat{i} + (3 + 1)\hat{j} $

  $ \vec{R} = -2\hat{i} + 4\hat{j} $

  Bileşke kuvvet vektörümüzü bulduk: $ \vec{R} = -2\hat{i} + 4\hat{j} $.

• 2. Adım: Bileşke Kuvvet Vektörünün Büyüklüğünü (Şiddetini) Bulma

  Bir vektörün büyüklüğü (şiddeti), Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. Eğer bir vektör $ \vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} $ şeklinde ise, büyüklüğü $ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} $ formülüyle hesaplanır.

  Bizim bileşke vektörümüz $ \vec{R} = -2\hat{i} + 4\hat{j} $ olduğuna göre, $ R_x = -2 $ ve $ R_y = 4 $ değerlerini yerine koyalım:

  $ |\vec{R}| = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} $

  $ |\vec{R}| = \sqrt{4 + 16} $

  $ |\vec{R}| = \sqrt{20} $

  Bileşke kuvvet vektörünün büyüklüğü $ \sqrt{20} $ birimdir.

• 3. Adım: Bileşke Kuvvet Vektörünün Birim Vektörünü Bulma

  Bir vektörün birim vektörü, o vektörün kendisinin, büyüklüğüne bölünmesiyle elde edilir. Birim vektör, vektörün yönünü gösterir ve büyüklüğü 1'dir. Formülü şöyledir:

  $ \hat{u}_R = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} $

  Şimdi bulduğumuz $ \vec{R} $ ve $ |\vec{R}| $ değerlerini yerine yazalım:

  $ \hat{u}_R = \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}} $

  Bu ifade, bileşke kuvvet vektörünün birim vektörüdür.

• 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz birim vektör ifadesini seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $ \frac{-\hat{i} + 2\hat{j}}{\sqrt{5}} $
  • B) $ \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}} $
  • C) $ \frac{\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{5}} $
  • D) $ \frac{2\hat{i} - 4\hat{j}}{\sqrt{20}} $

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz $ \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}} $ ifadesi B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.