Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle, ikinci dereceden denklemlerin önemli bir özelliği olan "çakışık kökler" durumunu inceleyeceğimiz bir problemi çözeceğiz. Bir denklemin çakışık iki kökü olması ne anlama geliyor ve bu bilgiyle katsayılardan birini nasıl bulabiliriz, adım adım görelim.
- Adım 1: Denklemi Tanıyalım ve Katsayıları Belirleyelim
- Verilen denklem $x^2 - (k+1)x + 4 = 0$ şeklindedir. Bu, genel ikinci dereceden denklem formu olan $ax^2 + bx + c = 0$ ile aynı yapıdadır.
- Denklemimizdeki katsayıları belirleyelim:
- $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
- $b = -(k+1)$ (çünkü $x$'in katsayısı $-(k+1)$'dir)
- $c = 4$ (sabit terim 4'tür)
- Adım 2: Çakışık Kökler Şartını Hatırlayalım
- Bir ikinci dereceden denklemin çakışık iki kökü (yani birbirine eşit iki kökü) olması demek, denklemin diskriminantının ($\Delta$) sıfıra eşit olması demektir.
- Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.
- Çakışık kökler için bu formülü 0'a eşitlemeliyiz: $b^2 - 4ac = 0$.
- Adım 3: Diskriminantı Hesaplayalım ve k Değerini Bulalım
- Şimdi belirlediğimiz $a$, $b$ ve $c$ değerlerini diskriminant formülünde yerine yazalım:
- $(-(k+1))^2 - 4(1)(4) = 0$
- Bu ifadeyi basitleştirelim:
- $(k+1)^2 - 16 = 0$
- Şimdi $k$'yi bulmak için denklemi çözelim:
- $(k+1)^2 = 16$
- Her iki tarafın karekökünü alalım. Unutmayın, bir sayının karekökünü alırken hem pozitif hem de negatif değeri düşünmeliyiz:
- $k+1 = \sqrt{16}$ veya $k+1 = -\sqrt{16}$
- $k+1 = 4$ veya $k+1 = -4$
- Adım 4: k'nin Alabileceği Değerleri Bulalım
- İlk durum için:
- $k+1 = 4 \Rightarrow k_1 = 4 - 1 \Rightarrow k_1 = 3$
- İkinci durum için:
- $k+1 = -4 \Rightarrow k_2 = -4 - 1 \Rightarrow k_2 = -5$
- Buna göre, $k$'nin alabileceği iki farklı değer vardır: $3$ ve $-5$.
- Adım 5: k'nin Alabileceği Değerler Toplamını Hesaplayalım
- Soruda bizden $k$'nin alabileceği değerler toplamı isteniyor. Bu değerleri toplayalım:
- Toplam $= k_1 + k_2 = 3 + (-5) = 3 - 5 = -2$
Böylece $k$'nin alabileceği değerler toplamının $-2$ olduğunu bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
