9. Sınıf Denklemin Kökü Nedir? Test 1

x² - 6x + m = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂'dir. x₁ = 2x₂ olduğuna göre m kaçtır?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki ilişkiyi kullanarak bilinmeyen bir katsayıyı bulacağız. İkinci dereceden denklemlerin kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini hatırlayarak bu tür soruları kolayca çözebiliriz. Haydi adım adım ilerleyelim!

• Denklemi ve Katsayıları Belirleyelim:

  Verilen denklem $x^2 - 6x + m = 0$ şeklindedir. Genel ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ formunda olduğu için, bu denklemdeki katsayıları belirleyelim:

  • $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
  • $b = -6$ (çünkü $x$'in katsayısı -6'dır)
  • $c = m$ (çünkü sabit terim $m$'dir)
• Kökler Toplamı Formülünü Kullanalım:

  İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamı formülü $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ şeklindedir. Şimdi bulduğumuz katsayıları bu formülde yerine koyalım:

  • $x_1 + x_2 = -\frac{(-6)}{1}$
  • $x_1 + x_2 = 6$

  Ayrıca soruda bize $x_1 = 2x_2$ bilgisi verilmişti. Bu bilgiyi kökler toplamı denkleminde kullanalım:

  • $2x_2 + x_2 = 6$
  • $3x_2 = 6$
  • Her iki tarafı 3'e bölersek, $x_2 = 2$ buluruz.

  Şimdi $x_1$'i bulmak için $x_1 = 2x_2$ ilişkisini kullanalım:

  • $x_1 = 2 \cdot 2$
  • $x_1 = 4$

  Böylece denklemin köklerini $x_1 = 4$ ve $x_2 = 2$ olarak bulmuş olduk. Harika!

• Kökler Çarpımı Formülünü Kullanarak $m$'yi Bulalım:

  İkinci dereceden bir denklemin kökler çarpımı formülü $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ şeklindedir. Şimdi bulduğumuz kök değerlerini ve katsayıları bu formülde yerine koyalım:

  • $4 \cdot 2 = \frac{m}{1}$
  • $8 = m$

  Gördüğünüz gibi, $m$ değerini $8$ olarak bulduk!

Cevap C seçeneğidir.