Trigonometrik fonksiyonlar 11. sınıf Test 1

\( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) özdeşliğine göre, \( \sin 15^\circ \) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)
B) \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
C) \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \)
D) \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \)

Trigonometri dünyasına hoş geldin! Bu soruyu çözerken özdeşlikleri kullanarak \( \sin 15^\circ \) değerini bulacağız. Hazırsan başlayalım! 🚀

• 🧪 İlk olarak, verilen özdeşliği yazalım: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
• 📐 Şimdi, \( x = 15^\circ \) alarak \( \cos 30^\circ \) değerini elde edelim: \( \cos (2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ \).
• 🧮 \( \cos 30^\circ \) değerinin \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz. O halde, özdeşlikte yerine koyalım: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sin^2 15^\circ \).
• 💡 Şimdi, \( \sin^2 15^\circ \) değerini bulmak için denklemi düzenleyelim: \( 2\sin^2 15^\circ = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( 2\sin^2 15^\circ = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \) \( \sin^2 15^\circ = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \)
• ⚠️ Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \).
• 📌 Şimdi, \( \sqrt{2 - \sqrt{3}} \) ifadesini basitleştirmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için, \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) şeklinde yazmaya çalışalım. Yani \( 2 - \sqrt{3} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} \) olmalı. Buradan \( a + b = 2 \) ve \( 4ab = 3 \) denklemlerini elde ederiz. Bu denklemleri çözdüğümüzde \( a = \frac{3}{2} \) ve \( b = \frac{1}{2} \) buluruz.
• ✨ Dolayısıyla, \( \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \) olur.
• ✅ Şimdi, bulduğumuz değeri yerine yazalım: \( \sin 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \). Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile genişletirsek: \( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) sonucunu elde ederiz. Doğru Seçenek A'dır.