Çizgisel hız nedir (v) Test 2

İki gezegenin yörüngeleri inceleniyor. Birinci gezegenin yörünge yarıçapı ikinci gezegenin 4 katıdır. İki gezegenin yörüngedeki çizgisel hızları eşit olduğuna göre, periyotları oranı (T₁/T₂) kaçtır?

A) 1/4
B) 1/2
C) 2
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki gezegenin yörünge hareketlerini inceleyerek periyotları arasındaki ilişkiyi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Soruda bize iki önemli bilgi verilmiş:

  • Birinci gezegenin yörünge yarıçapı ($r_1$), ikinci gezegenin yörünge yarıçapının ($r_2$) 4 katıdır. Yani, $r_1 = 4r_2$.
  • İki gezegenin yörüngedeki çizgisel hızları eşittir. Yani, $v_1 = v_2$.

  Bizden istenen ise periyotları oranı, yani $T_1/T_2$ değeridir.

• Çembersel Harekette Çizgisel Hız Formülünü Hatırlayalım:

  Bir cisim çembersel bir yörüngede hareket ederken, çizgisel hızı ($v$), yörünge yarıçapı ($r$) ve periyodu ($T$) arasındaki ilişki şu formülle ifade edilir:

  $v = \frac{2\pi r}{T}$

  Burada $2\pi r$ bir tam turda alınan yolu (çemberin çevresi), $T$ ise bu yolu alma süresini (periyot) temsil eder.

• Formülü Her İki Gezegen İçin Uygulayalım:

  Şimdi bu formülü her iki gezegen için ayrı ayrı yazalım:

  • Birinci gezegen için: $v_1 = \frac{2\pi r_1}{T_1}$
  • İkinci gezegen için: $v_2 = \frac{2\pi r_2}{T_2}$
• Hızların Eşitliği Durumunu Kullanalım:

  Soruda bize $v_1 = v_2$ olduğu bilgisi verilmişti. Bu durumda, yukarıdaki iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz:

  $\frac{2\pi r_1}{T_1} = \frac{2\pi r_2}{T_2}$

• Denklemi Sadeleştirelim:

  Denklemin her iki tarafında da $2\pi$ terimi bulunmaktadır. Bu terimleri sadeleştirebiliriz:

  $\frac{r_1}{T_1} = \frac{r_2}{T_2}$

• Periyotlar Oranını Bulmak İçin Denklemi Düzenleyelim:

  Bizden $T_1/T_2$ oranı istendiği için, denklemi bu oranı verecek şekilde yeniden düzenleyelim. İçler dışlar çarpımı yaparak veya terimleri yer değiştirerek bu oranı elde edebiliriz:

  $\frac{T_1}{T_2} = \frac{r_1}{r_2}$

• Yarıçaplar Oranını Yerine Koyalım:

  Sorunun başında verilen $r_1 = 4r_2$ bilgisini bu denklemde yerine koyalım:

  $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4r_2}{r_2}$

• Sonucu Hesaplayalım:

  Denklemdeki $r_2$ terimleri birbirini götürecektir:

  $\frac{T_1}{T_2} = 4$

Buna göre, birinci gezegenin periyodunun ikinci gezegenin periyoduna oranı 4'tür.

Cevap D seçeneğidir.