m bir gerçel sayı olmak üzere, x² - (m+1)x + 4 = 0 denkleminin çakışık iki kökü olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ikinci dereceden denklemin çakışık iki kökü olması durumunu inceleyeceğiz ve bu şartı sağlayan $m$ değerlerinin toplamını bulacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İkinci Dereceden Denklemi Tanıyalım ve Çakışık Kökler Şartını Hatırlayalım.
- Verilen denklem $x^2 - (m+1)x + 4 = 0$ bir ikinci dereceden denklemdir. Genel formu $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindedir.
- Bir ikinci dereceden denklemin "çakışık iki kökü" olması demek, denklemin diskriminantının ($\Delta$) sıfıra eşit olması demektir. Yani, $\Delta = 0$ olmalıdır.
- Adım 2: Denklemin Katsayılarını Belirleyelim.
- Verilen $x^2 - (m+1)x + 4 = 0$ denklemini genel $ax^2 + bx + c = 0$ denklemiyle karşılaştıralım:
- $a = 1$ ( $x^2$ teriminin katsayısı)
- $b = -(m+1)$ ( $x$ teriminin katsayısı)
- $c = 4$ (sabit terim)
- Adım 3: Diskriminant Formülünü Uygulayalım ve Sıfıra Eşitleyelim.
- Diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.
- Çakışık kökler şartı olan $\Delta = 0$ eşitliğini kullanarak katsayıları formülde yerine yazalım:
- $(-(m+1))^2 - 4(1)(4) = 0$
- Adım 4: Denklemi Çözerek $m$ Değerlerini Bulalım.
- Şimdi elde ettiğimiz denklemi düzenleyelim ve $m$ değerlerini bulalım:
- $(m+1)^2 - 16 = 0$
- Bu denklemi çözmek için iki farklı yöntem kullanabiliriz:
- Yöntem 1: Tam Kare Açılımı
- $(m^2 + 2m + 1) - 16 = 0$
- $m^2 + 2m - 15 = 0$
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-15$, toplamları $2$ olan iki sayı $5$ ve $-3$'tür:
- $(m+5)(m-3) = 0$
- Buradan $m+5 = 0 \implies m_1 = -5$
- veya $m-3 = 0 \implies m_2 = 3$
- Yöntem 2: İki Kare Farkı Özdeşliği
- $(m+1)^2 - 4^2 = 0$ (Çünkü $16 = 4^2$)
- İki kare farkı özdeşliği $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ şeklindedir. Burada $A = (m+1)$ ve $B = 4$'tür.
- $((m+1) - 4)((m+1) + 4) = 0$
- $(m-3)(m+5) = 0$
- Buradan $m_1 = 3$ ve $m_2 = -5$
- Adım 5: $m$'nin Alabileceği Değerler Toplamını Bulalım.
- $m$'nin alabileceği değerler $m_1 = -5$ ve $m_2 = 3$'tür.
- Bu değerlerin toplamı: $m_1 + m_2 = -5 + 3 = -2$.
Böylece, $m$'nin alabileceği değerler toplamını $-2$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
