2x² + (k-1)x + 8 = 0 denkleminin kökleri reel sayı olmadığına göre, k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) -6Sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden denklemin köklerinin reel sayı olmama koşulunu inceleyeceğiz. Bu tür problemler, diskriminant kavramını iyi anlamamızı gerektirir. Hadi adım adım çözelim!
Öncelikle, verilen ikinci dereceden denklemi genel form olan $ax^2 + bx + c = 0$ ile karşılaştıralım:
Denklemimiz: $2x^2 + (k-1)x + 8 = 0$
Buradan katsayıları belirleyelim:
$a = 2$
$b = k-1$
$c = 8$
Köklerin reel sayı olmaması durumu için diskriminantın ($\Delta$) sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir ($\Delta \le 0$).
Diskriminant formülünü hatırlayalım: $\Delta = b^2 - 4ac$. Şimdi bu formülde katsayıları yerine yazalım:
$\Delta = (k-1)^2 - 4(2)(8)$
$\Delta = (k-1)^2 - 64$
Köklerin reel sayı olmaması koşulunu uygulayalım: $\Delta \le 0$
Yani, $(k-1)^2 - 64 \le 0$ olmalıdır.
Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
$(k-1)^2 \le 64$
Her iki tarafın karekökünü aldığımızda mutlak değer kullanmayı unutmayalım:
$\sqrt{(k-1)^2} \le \sqrt{64}$
$|k-1| \le 8$
Bu mutlak değer eşitsizliğini açarsak:
$-8 \le k-1 \le 8$
Eşitsizliğin her tarafına $1$ ekleyerek $k$ değer aralığını bulalım:
$-8 + 1 \le k-1 + 1 \le 8 + 1$
$-7 \le k \le 9$
Bu aralıkta $k$'nin alabileceği tam sayılar $-7, -6, -5, \dots, 8, 9$'dur.
Soru bizden $k$'nin alabileceği en küçük tam sayı değerini istediği için, bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri $-7$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
