5. K = [-4, 1) ve L = (-2, 3] kümeleri veriliyor. (K ∪ L) - (K ∩ L) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [-4, -2] ∪ [1, 3]Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim. Öncelikle verilen kümeleri anlayalım, ardından birleşim ve kesişim kümelerini bulalım ve son olarak fark işlemini uygulayalım.
$K = [-4, 1)$ kümesi, $-4 \le x < 1$ koşulunu sağlayan tüm gerçek sayıları içerir. Yani -4 dahildir, 1 dahil değildir.
$L = (-2, 3]$ kümesi, $-2 < x \le 3$ koşulunu sağlayan tüm gerçek sayıları içerir. Yani -2 dahil değildir, 3 dahildir.
Birleşim kümesi, K veya L kümelerinden en az birinde bulunan tüm elemanları içerir.
K kümesi -4'ten başlar (dahil) ve 1'e kadar gider (hariç). L kümesi -2'den başlar (hariç) ve 3'e kadar gider (dahil).
Bu iki kümeyi birleştirdiğimizde, en küçük eleman -4 (K'dan gelir ve dahildir), en büyük eleman ise 3 (L'den gelir ve dahildir). Bu aralıktaki tüm sayılar K veya L'de bulunur. Örneğin, -3 K'da, 0 hem K hem L'de, 2 L'de.
Dolayısıyla, $K \cup L = [-4, 3]$ olur.
Kesişim kümesi, hem K hem de L kümelerinde ortak olarak bulunan tüm elemanları içerir.
K: $[-4, 1)$ ve L: $(-2, 3]$.
Ortak aralığın başlangıcı, alt sınırların en büyüğü olmalıdır: $\max(-4, -2) = -2$. Ancak L kümesinde -2 dahil olmadığı için, kesişimde de -2 dahil olmaz. Bu yüzden $(-2$ ile başlarız.
Ortak aralığın bitişi, üst sınırların en küçüğü olmalıdır: $\min(1, 3) = 1$. Ancak K kümesinde 1 dahil olmadığı için, kesişimde de 1 dahil olmaz. Bu yüzden $1)$ ile biteriz.
Dolayısıyla, $K \cap L = (-2, 1)$ olur.
Bu işlem, $K \cup L$ kümesinde bulunan ancak $K \cap L$ kümesinde bulunmayan elemanları ifade eder.
Elimizdeki kümeler: $K \cup L = [-4, 3]$ ve $K \cap L = (-2, 1)$.
Yani, $[-4, 3]$ aralığından $(-2, 1)$ açık aralığını çıkarmamız gerekiyor.
Sayı doğrusu üzerinde düşünelim: $[-4, 3]$ aralığı, -4'ten 3'e kadar olan tüm sayıları içerir (uç noktalar dahil). Bu aralıktan $(-2, 1)$ aralığını çıkarıyoruz. Yani -2 ile 1 arasındaki sayıları (bu uç noktalar hariç) atıyoruz.
Bu çıkarma işlemi, orijinal aralığı iki parçaya ayırır:
Birinci Parça: -4'ten -2'ye kadar olan kısım.
-4, $K \cup L$ içinde ve çıkarılan $K \cap L$ içinde değil. Bu yüzden -4 kalır. -2, $K \cup L$ içinde. Çıkarılan $K \cap L = (-2, 1)$ kümesinde -2 dahil değildir. Bu yüzden -2 de kalır. Bu kısım $[-4, -2]$ olur.
İkinci Parça: 1'den 3'e kadar olan kısım.
1, $K \cup L$ içinde. Çıkarılan $K \cap L = (-2, 1)$ kümesinde 1 dahil değildir. Bu yüzden 1 de kalır. 3, $K \cup L$ içinde ve çıkarılan $K \cap L$ içinde değil. Bu yüzden 3 kalır. Bu kısım $[1, 3]$ olur.
Bu iki parçanın birleşimi bize sonucu verir: $[-4, -2] \cup [1, 3]$.
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, doğru sonuç $[-4, -2] \cup [1, 3]$ olarak bulunur. Bu seçenek A şıkkına karşılık gelmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
