Aralıklarda birleşim kesişim işlemleri örnekleri Test 2

7. P = (-∞, 2] ve R = [0, ∞) kümeleri veriliyor. P ∩ R kümesinin pozitif elemanlarından oluşan alt kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (0, 2]
B) [0, 2]
C) (0, 2)
D) [0, 2)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda kümelerle ilgili temel kavramları kullanarak bir kesişim kümesi bulacak ve ardından bu kümenin pozitif elemanlarından oluşan alt kümesini belirleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Verilen Kümeleri Anlayalım

  Soruda bize iki küme verilmiş:

  • $P = (-\infty, 2]$: Bu küme, 2'ye eşit veya 2'den küçük tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, sayı doğrusunda soldan gelip 2 noktasında duran (2 dahil) tüm sayılar.
  • $R = [0, \infty)$: Bu küme ise 0'a eşit veya 0'dan büyük tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, sayı doğrusunda 0 noktasından başlayıp (0 dahil) sağa doğru sonsuza giden tüm sayılar.
• Adım 2: $P \cap R$ Kesişim Kümesini Bulalım

  İki kümenin kesişimi ($P \cap R$), her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. Bu, sayı doğrusunda her iki kümenin de kapsadığı aralığı bulmak demektir.

  • $P$ kümesi: $... -2, -1, 0, 1, 2$ (ve aradaki tüm ondalık sayılar)
  • $R$ kümesi: $0, 1, 2, 3, ...$ (ve aradaki tüm ondalık sayılar)

  Her iki kümenin de ortak olduğu kısım, 0'dan başlayıp 2'de biten aralıktır. Hem 0 hem de 2 her iki kümeye de dahil olduğu için, bu aralık kapalı aralık olacaktır.

  Bu durumda, $P \cap R = [0, 2]$ olur.

• Adım 3: $P \cap R$ Kümesinin Pozitif Elemanlarından Oluşan Alt Kümeyi Bulalım

  Şimdi bulduğumuz $P \cap R = [0, 2]$ kümesinin pozitif elemanlarını istiyoruz. Pozitif elemanlar, 0'dan büyük olan elemanlardır.

  • $[0, 2]$ kümesi, 0'ı içerir. Ancak 0 pozitif bir sayı değildir (negatif de değildir).
  • Pozitif sayılar, $x > 0$ koşulunu sağlayan sayılardır.

  Bu nedenle, $[0, 2]$ aralığından 0'ı çıkarmamız gerekir. 2 ise pozitif bir sayıdır ve aralığa dahildir.

  Sonuç olarak, $P \cap R$ kümesinin pozitif elemanlarından oluşan alt kümesi $(0, 2]$ olacaktır. Bu aralık, 0'dan büyük ve 2'ye eşit veya 2'den küçük tüm gerçek sayıları ifade eder.

• Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz $(0, 2]$ ifadesi, seçeneklerden A) şıkkı ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.