10. Sınıf Koşullu Olasılık Nedir? Test 2

Bir sınavda öğrencilerin %60'ı matematikten, %40'ı ise fizikten başarılı olmuştur. Her iki dersten başarılı olanların oranı %30'dur. Rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı kaçtır?

A) 1/4
B) 1/2
C) 3/4
D) 4/5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, olasılık konusundaki temel bilgilerinizi ve özellikle koşullu olasılık kavramını ne kadar iyi anladığınızı ölçmek için harika bir fırsat. Adım adım ilerleyerek bu soruyu birlikte çözelim ve konuyu pekiştirelim.

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim

  Soruda bize bazı yüzdelikler verilmiş. Bunları olasılık olarak ifade edelim:

  • Matematikten başarılı olan öğrencilerin oranı: $P(M) = 60\% = 0.60$
  • Fizikten başarılı olan öğrencilerin oranı: $P(F) = 40\% = 0.40$
  • Hem matematikten hem de fizikten başarılı olan öğrencilerin oranı: $P(M \cap F) = 30\% = 0.30$

  Burada $P(M)$ "Matematikten başarılı olma olasılığı", $P(F)$ "Fizikten başarılı olma olasılığı" ve $P(M \cap F)$ ise "Hem Matematikten hem de Fizikten başarılı olma olasılığı" anlamına gelir.

• 2. Adım: Bizden Ne İstendiğini Belirleyelim

  Sorunun kilit cümlesi şu: "Rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten başarılı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı kaçtır?"

  Bu ifade, bir koşullu olasılık sorusudur. Yani, bir olayın (fizikten başarılı olma) gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın (matematikten başarılı olma) gerçekleşme olasılığını bulmamız isteniyor. Bunu matematiksel olarak $P(M | F)$ şeklinde gösteririz. Bu, "F olayı gerçekleştiğinde M olayının gerçekleşme olasılığı" demektir.

• 3. Adım: Koşullu Olasılık Formülünü Hatırlayalım

  Koşullu olasılık formülü şöyledir:

  $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

  Bu formülde, $P(A | B)$ "B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı", $P(A \cap B)$ "hem A hem de B olayının gerçekleşme olasılığı" ve $P(B)$ ise "B olayının gerçekleşme olasılığı" anlamına gelir.

• 4. Adım: Formüldeki Değerleri Yerine Koyalım

  Bizim problemimizde $A$ olayı "Matematikten başarılı olma" ($M$) ve $B$ olayı "Fizikten başarılı olma" ($F$) olduğuna göre, formülü şöyle yazarız:

  $P(M | F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)}$

  Şimdi, 1. adımda not ettiğimiz değerleri bu formüle yerleştirelim:

  • $P(M \cap F) = 0.30$
  • $P(F) = 0.40$

  Yani:

  $P(M | F) = \frac{0.30}{0.40}$

• 5. Adım: Hesaplamayı Yapalım

  Şimdi basit bir bölme işlemi yapalım:

  $P(M | F) = \frac{0.30}{0.40} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$

  Bu da demektir ki, fizikten başarılı olduğu bilinen bir öğrencinin matematikten de başarılı olma olasılığı $3/4$'tür.

Cevap C seçeneğidir.