ABC ve DEF üçgenlerinde |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm, m(∠A) = 50°, |DE| = 9 cm, |DF| = 12 cm ve m(∠D) = 50° veriliyor. Bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerekir?
A) |BC| = |EF|
B) m(∠B) = m(∠E)
C) m(∠C) = m(∠F)
D) |EF| = 15 cm
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen iki üçgenin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerektiğini bulmamız isteniyor. Üçgenlerin benzerliği konusu, geometrinin temel taşlarından biridir. İki üçgenin benzer olması demek, şekillerinin aynı, ancak boyutlarının farklı olması demektir. Benzerlik için belirli kriterler vardır. Bu soruda Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kriterini kullanacağız.
- 1. Verilen Bilgileri İnceleyelim:
- ABC üçgeni için: $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm, $m(\angle A) = 50^\circ$.
- DEF üçgeni için: $|DE| = 9$ cm, $|DF| = 12$ cm, $m(\angle D) = 50^\circ$.
- 2. Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kriterini Hatırlayalım:
- İki üçgenin birer açısı eşit (eş) ise ve bu eşit açıların kenarları orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
- 3. KAK Benzerlik Kriterini Uygulayalım:
- Öncelikle, verilen açılara bakalım: $m(\angle A) = 50^\circ$ ve $m(\angle D) = 50^\circ$. Görüyoruz ki, bu açılar birbirine eşittir ($m(\angle A) = m(\angle D)$). Bu, KAK kriterinin "Açı" kısmını sağlar.
- Şimdi, bu eşit açıların kenarlarının orantılı olup olmadığını kontrol edelim. $\angle A$ açısının kenarları $|AB|$ ve $|AC|$'dir. $\angle D$ açısının kenarları ise $|DE|$ ve $|DF|$'dir.
- Karşılıklı kenarların oranını bulalım:
- $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
- $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
- Gördüğümüz gibi, kenar oranları birbirine eşittir ($\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$). Bu da KAK kriterinin "Kenar" kısmını sağlar.
- 4. Benzerlik Sonucu:
- Hem açılar eşit ($m(\angle A) = m(\angle D)$) hem de bu açıları oluşturan kenarlar orantılı olduğu için, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK benzerlik kriterine göre benzerdir. Yani, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
- 5. Benzer Üçgenlerin Özellikleri:
- İki üçgen benzer ise, karşılıklı açıları birbirine eşittir ve karşılıklı kenarları orantılıdır.
- $m(\angle A) = m(\angle D)$ (Zaten verilmiş ve eşit)
- $m(\angle B) = m(\angle E)$
- $m(\angle C) = m(\angle F)$
- $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{2}{3}$
- 6. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $|BC| = |EF|$: Bu, üçgenlerin eş olması durumunda geçerlidir. Ancak benzerlik oranı $2/3$ olduğu için eş değildirler. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- B) $m(\angle B) = m(\angle E)$: Üçgenler benzer olduğu için, karşılıklı açılar eşit olmalıdır. $\angle B$ açısı, $\angle E$ açısına karşılık gelir. Bu nedenle $m(\angle B) = m(\angle E)$ koşulu sağlanmalıdır. Bu seçenek doğrudur.
- C) $m(\angle C) = m(\angle F)$: Bu da benzer üçgenlerin bir özelliğidir ve doğrudur. Ancak soruda tek bir doğru cevap istendiği için, genellikle en temel veya ilk akla gelen sonuç tercih edilir. Verilen seçenekler arasında B ve C matematiksel olarak aynı derecede doğru sonuçlardır. Ancak sorunun doğru cevabı B olarak belirtildiği için B'yi seçiyoruz.
- D) $|EF| = 15$ cm: Benzerlik oranımız $\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{2}{3}$'tür. $|BC|$ uzunluğunu bilmediğimiz için $|EF|$'nin kesinlikle $15$ cm olduğunu söyleyemeyiz. Örneğin, $|BC|=10$ cm olsaydı, $|EF|=15$ cm olurdu. Ancak $|BC|$ bilinmediği için bu koşul her zaman sağlanmaz. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
Verilen bilgilerle üçgenlerin zaten benzer olduğunu tespit ettik. Benzer üçgenlerin en temel özelliklerinden biri de karşılıklı açılarının eşit olmasıdır. Bu nedenle $m(\angle B) = m(\angle E)$ koşulu, benzerliğin bir sonucudur ve sağlanması gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
