10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Test 1

$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \tan^2 \theta$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) $\sin^2 \theta$
B) $\cos^2 \theta$
C) $1$
D) $\cot^2 \theta$

Bu soruyu çözmek için temel trigonometrik özdeşlikleri kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Bize verilen ifade şudur: $\frac{1}{\cos^2 \theta} - \tan^2 \theta$.

• $\tan^2 \theta$ İfadesini Sinüs ve Kosinüs Cinsinden Yazalım:

  Trigonometride $\tan \theta$ (tanjant teta) fonksiyonunun $\sin \theta$ (sinüs teta) ve $\cos \theta$ (kosinüs teta) cinsinden tanımı şöyledir:

  $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

  Bu durumda, $\tan^2 \theta$ ifadesi de şu şekilde yazılabilir:

  $\tan^2 \theta = \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

• İfadeyi Yeniden Düzenleyelim:

  Şimdi, başlangıçtaki ifademizde $\tan^2 \theta$ yerine bulduğumuz eşitini yazalım:

  $\frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

• Ortak Paydada İşlem Yapalım:

  Gördüğümüz gibi, her iki terimin de paydası $\cos^2 \theta$'dır. Bu durumda, payları doğrudan çıkarabiliriz:

  $\frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

• Temel Pisagor Özdeşliğini Hatırlayalım:

  Trigonometrinin en önemli özdeşliklerinden biri Pisagor Özdeşliği'dir:

  $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

  Bu özdeşliği kullanarak $1 - \sin^2 \theta$ ifadesinin neye eşit olduğunu bulabiliriz. Eşitliğin her iki tarafından $\sin^2 \theta$ çıkarırsak:

  $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

• İfadeyi Sadeleştirelim:

  Şimdi, $\frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ ifadesindeki $1 - \sin^2 \theta$ yerine $\cos^2 \theta$ yazalım:

  $\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

  Pay ve payda aynı olduğu için (ve $\cos \theta \neq 0$ olduğunu varsayarsak), bu ifadenin değeri $1$'dir.

  $\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1$

Böylece, $\frac{1}{\cos^2 \theta} - \tan^2 \theta$ ifadesinin değeri $1$ olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.