Polinom olma koşulu nedir Test 2

\( Q(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) ifadesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Her x gerçel sayısı için polinomdur
B) Hiçbir x gerçel sayısı için polinom değildir
C) x = 1 hariç tüm gerçel sayılar için polinomdur
D) Sadece pozitif x değerleri için polinomdur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, verilen bir cebirsel ifadenin ne zaman bir polinom olduğunu anlamaya çalışacağız. Polinomlar matematikte çok önemli bir yer tutar ve onları tanımak, ileride karşılaşacağınız birçok konunun temelini oluşturur. Hadi sorumuza adım adım yaklaşalım.

Soru, $ Q(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ ifadesi ile ilgili doğru seçeneği bulmamızı istiyor.

• 1. Polinom Nedir?

  Öncelikle, bir ifadenin "polinom" olması ne anlama geliyor, bunu hatırlayalım. Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren bir cebirsel ifadedir. En önemlisi, bir polinomda değişkenler paydada bulunmaz ve değişkenlerin kuvvetleri kesirli veya negatif olamaz. Örneğin, $ P(x) = 3x^2 - 5x + 7 $ bir polinomdur. Ancak $ R(x) = \frac{1}{x} $ veya $ S(x) = \sqrt{x} $ birer polinom değildir.

• 2. Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Bize verilen ifade $ Q(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ şeklindedir. Bu ifade, ilk bakışta bir rasyonel ifade (iki polinomun oranı) gibi görünmektedir, çünkü paydada bir değişken ($ x - 1 $) bulunmaktadır.

• 3. Paydadaki Kısıtlamayı Belirleyelim:

  Bir kesirli ifadede, payda asla sıfır olamaz. Eğer payda sıfır olursa, ifade tanımsız hale gelir. Bizim ifademizde payda $ x - 1 $ olduğundan, $ x - 1 = 0 $ durumunu incelemeliyiz. Bu da $ x = 1 $ anlamına gelir. Dolayısıyla, $ Q(x) $ ifadesi $ x = 1 $ için tanımsızdır. Bir ifade tanımsız olduğu bir noktada polinom olamaz.

• 4. İfadeyi Sadeleştirelim:

  Şimdi ifadenin pay kısmına bakalım: $ x^2 - 1 $. Bu ifade, matematikte "iki kare farkı" olarak bilinen bir özdeşliktir ve $ (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) $ şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buna göre, $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $ olarak yazılabilir.

  Şimdi $ Q(x) $ ifadesini yeniden yazalım:

  $ Q(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} $

  Eğer $ x \neq 1 $ ise, pay ve paydadaki $ (x - 1) $ terimlerini sadeleştirebiliriz. Bu sadeleştirme sonucunda:

  $ Q(x) = x + 1 $ (ancak bu sadeleştirme sadece $ x \neq 1 $ iken geçerlidir)

• 5. Sadeleşmiş İfadeyi Değerlendirelim:

  Sadeleşmiş haliyle $ Q(x) = x + 1 $ ifadesi, açıkça bir polinomdur (birinci dereceden bir polinom). Bu ifade, tüm gerçel sayılar için tanımlıdır ve polinom olma şartlarını sağlar.

• 6. Sonuçları Birleştirelim:

  Gördük ki, $ Q(x) $ ifadesi $ x = 1 $ noktasında tanımsızdır ve bu noktada polinom olamaz. Ancak $ x \neq 1 $ olduğu tüm diğer gerçel sayılar için, ifade $ x + 1 $ polinomuna eşittir. Bu da demektir ki, $ Q(x) $ ifadesi $ x = 1 $ hariç tüm gerçel sayılar için bir polinom gibi davranır.

• 7. Seçenekleri Kontrol Edelim:
  • A) Her x gerçel sayısı için polinomdur: Yanlış, çünkü $ x = 1 $ için tanımsızdır.
  • B) Hiçbir x gerçel sayısı için polinom değildir: Yanlış, çünkü $ x \neq 1 $ için $ x + 1 $ polinomuna eşittir.
  • C) x = 1 hariç tüm gerçel sayılar için polinomdur: Doğru, çünkü $ x = 1 $ dışındaki her yerde $ x + 1 $ polinomuna eşittir.
  • D) Sadece pozitif x değerleri için polinomdur: Yanlış, örneğin $ x = -2 $ için $ Q(-2) = -2 + 1 = -1 $ ve bu bir polinom değeridir.

Cevap C seçeneğidir.