Polinom olma koşulu nedir Test 2

Hangi seçenekteki ifade kesinlikle bir polinom değildir?

A) \( 2x^3 - 3x^2 + x - 1 \)
B) \( x^{\sqrt{2}} + 2x + 3 \)
C) \( 5x^{10} - 2x^5 + 7 \)
D) \( \frac{3}{4}x^8 - x^4 + 2 \)

Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenlerin (bu durumda $x$) üslerinin doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sıfır veya pozitif tam sayı) olması gerekir. Katsayılar ise herhangi bir reel sayı olabilir. Şimdi seçenekleri bu kurala göre adım adım inceleyelim:

• A) $2x^3 - 3x^2 + x - 1$

  Bu ifadede $x$'in üsleri sırasıyla $3$, $2$, $1$ (çünkü $x = x^1$) ve sabit terim olan $-1$ için $0$ (çünkü $-1 = -1 \cdot x^0$) şeklindedir. Tüm bu üsler ($3, 2, 1, 0$) doğal sayıdır. Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.

• B) $x^{\sqrt{2}} + 2x + 3$

  Bu ifadede $x$'in ilk terimdeki üssü $\sqrt{2}$'dir. $\sqrt{2}$ bir doğal sayı değildir (yaklaşık $1.414$ olan bir irrasyonel sayıdır). Polinom tanımına göre değişkenin üssü doğal sayı olmak zorundadır. Bu kurala uymadığı için, bu ifade kesinlikle bir polinom değildir.

• C) $5x^{10} - 2x^5 + 7$

  Bu ifadede $x$'in üsleri sırasıyla $10$, $5$ ve sabit terim olan $7$ için $0$ şeklindedir. Tüm bu üsler ($10, 5, 0$) doğal sayıdır. Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.

• D) $\frac{3}{4}x^8 - x^4 + 2$

  Bu ifadede $x$'in üsleri sırasıyla $8$, $4$ ve sabit terim olan $2$ için $0$ şeklindedir. Tüm bu üsler ($8, 4, 0$) doğal sayıdır. Katsayılar ($\frac{3}{4}$, $-1$, $2$) reel sayılardır. Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $x^{\sqrt{2}} + 2x + 3$ ifadesindeki $x$'in üssü ($\sqrt{2}$) doğal sayı olmadığı için bir polinom değildir.

Cevap B seçeneğidir.