Esnek çarpışma nedir (Enerji ve momentum korunur) Test 2

Kütleleri 2 kg ve 3 kg olan iki cisim sürtünmesiz yatay düzlemde esnek çarpışma yapıyor. Çarpışmadan önce 2 kg'lık cisim 10 m/s hızla hareket ederken, 3 kg'lık cisim duruyor. Çarpışmadan sonra 3 kg'lık cismin hızı kaç m/s olur?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

Merhaba arkadaşlar, bu soruyu çözerken hem momentumun korunumu hem de kinetik enerjinin korunumu ilkelerini kullanacağız. Esnek çarpışma dediği için her ikisi de korunacak. Hadi adım adım ilerleyelim!

• Adım 1: Momentumun Korunumu

Momentum korunumu, çarpışmadan önceki toplam momentumun, çarpışmadan sonraki toplam momentuma eşit olduğunu söyler. Matematiksel olarak ifade edersek:

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$

Burada:

• $m_1 = 2$ kg (1. cismin kütlesi)
• $v_1 = 10$ m/s (1. cismin ilk hızı)
• $m_2 = 3$ kg (2. cismin kütlesi)
• $v_2 = 0$ m/s (2. cismin ilk hızı - duruyor)
• $v_1'$ (1. cismin son hızı)
• $v_2'$ (2. cismin son hızı - aradığımız değer)

Şimdi değerleri yerine koyalım:

$(2 \text{ kg})(10 \text{ m/s}) + (3 \text{ kg})(0 \text{ m/s}) = (2 \text{ kg})v_1' + (3 \text{ kg})v_2'$

$20 = 2v_1' + 3v_2'$

• Adım 2: Kinetik Enerjinin Korunumu

Esnek çarpışmalarda kinetik enerji de korunur. Yani çarpışmadan önceki toplam kinetik enerji, çarpışmadan sonraki toplam kinetik enerjiye eşittir. Formülümüz:

$\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2$

Değerleri yerine koyalım (ve $\frac{1}{2}$'leri sadeleştirelim):

$(2 \text{ kg})(10 \text{ m/s})^2 + (3 \text{ kg})(0 \text{ m/s})^2 = (2 \text{ kg})v_1'^2 + (3 \text{ kg})v_2'^2$

$200 = 2v_1'^2 + 3v_2'^2$

• Adım 3: Denklemleri Çözelim

Şimdi elimizde iki denklem var:

• Denklem 1: $20 = 2v_1' + 3v_2'$
• Denklem 2: $200 = 2v_1'^2 + 3v_2'^2$

Denklem 1'den $v_1'$'i çekelim: $v_1' = 10 - \frac{3}{2}v_2'$

Bu ifadeyi Denklem 2'de yerine koyalım:

$200 = 2(10 - \frac{3}{2}v_2')^2 + 3v_2'^2$

$200 = 2(100 - 30v_2' + \frac{9}{4}v_2'^2) + 3v_2'^2$

$200 = 200 - 60v_2' + \frac{9}{2}v_2'^2 + 3v_2'^2$

$0 = -60v_2' + \frac{15}{2}v_2'^2$

$0 = v_2'(-60 + \frac{15}{2}v_2')$

Bu denklemin iki çözümü var: $v_2' = 0$ (bu çarpışma olmadan önceki durum, ilgilenmiyoruz) ve $-60 + \frac{15}{2}v_2' = 0$.

İkinci çözümü bulalım:

$\frac{15}{2}v_2' = 60$

$v_2' = \frac{2}{15} \cdot 60 = 8$ m/s

Çarpışmadan sonra 3 kg'lık cismin hızı 8 m/s olur.

Cevap D seçeneğidir.