Birim fonksiyon (veya özdeşlik fonksiyonu), tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani, bir $f$ fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için her $x$ değeri için $f(x) = x$ eşitliğini sağlaması gerekir. Ayrıca, birim fonksiyonun tanım kümesi genellikle tüm reel sayılar ($\mathbb{R}$) olarak kabul edilir ve bu kümedeki her eleman için $f(x)=x$ olmalıdır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangisinin birim fonksiyon olmadığını bulalım:
- A) $f(x) = x$: Bu fonksiyon, birim fonksiyonun tanımına doğrudan uymaktadır. Her $x$ değerini yine $x$ olarak eşler. Dolayısıyla bu bir birim fonksiyondur.
- B) $f(x) = \frac{x^2}{x}$ (x≠0): Bu fonksiyonu sadeleştirelim. Pay ve paydada ortak olan $x$ terimini sadeleştirdiğimizde $f(x) = x$ elde ederiz. Ancak burada çok önemli bir detay var: Fonksiyonun tanım kümesi $x \neq 0$ olarak belirtilmiştir. Bu durum, fonksiyonun $x=0$ noktasında tanımsız olduğu anlamına gelir. Birim fonksiyon $f(x)=x$ ise $f(0)=0$ olmalıdır. Fakat bu fonksiyonda $x=0$ için bir değer atanamadığı için, $0$ değerini kendisine eşleyemez. Bu nedenle, bu fonksiyon tam anlamıyla bir birim fonksiyon değildir çünkü birim fonksiyonun tüm tanım kümesinde (genellikle $\mathbb{R}$) $f(x)=x$ olma şartını sağlayamaz.
- C) $f(x) = (x-1) + 1$: Bu fonksiyonu sadeleştirelim. Parantezi açıp işlemleri yaptığımızda $f(x) = x - 1 + 1 = x$ elde ederiz. Bu fonksiyon, her $x$ değerini kendisine eşlediği için birim fonksiyondur.
- D) $f(x) = 2x - x$: Bu fonksiyonu sadeleştirelim. Benzer terimleri birleştirdiğimizde $f(x) = x$ elde ederiz. Bu fonksiyon da her $x$ değerini kendisine eşlediği için birim fonksiyondur.
İncelemelerimiz sonucunda, A, C ve D seçeneklerindeki fonksiyonlar sadeleştirildiğinde $f(x) = x$ formuna dönüşmekte ve birim fonksiyon özelliklerini taşımaktadır. Ancak B seçeneğindeki fonksiyon, $x=0$ noktasında tanımsız olduğu için birim fonksiyonun tüm tanım kümesinde $f(x)=x$ olma şartını sağlayamaz.
Cevap B seçeneğidir.
