10. Sınıf Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları Test 2

M(2,5) ve N(8,-1) noktaları veriliyor. [MN] doğru parçasını 3:4 oranında içten bölen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4.6, 2.6)
B) (5, 2)
C) (4, 3)
D) (5.4, 1.4)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki nokta arasında bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için kullandığımız özel bir formül var: İçten Bölme Formülü.

• 1. İçten Bölme Formülünü Hatırlayalım:

  Eğer $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında içten bölen nokta $P(x,y)$ ise, $P$ noktasının koordinatları şu formüllerle bulunur:

  $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

  $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

  Burada $m$ oranı ikinci noktaya ($N$) ait, $n$ oranı ise birinci noktaya ($M$) aittir. Yani, $P$ noktası $M$'ye $n$ birim, $N$'ye $m$ birim uzaklıktadır.

• 2. Verilen Değerleri Belirleyelim:

  Soruda verilen noktalar ve oranlar şunlardır:

  • Birinci noktamız $M(x_1, y_1) = (2,5)$. Yani $x_1 = 2$ ve $y_1 = 5$.
  • İkinci noktamız $N(x_2, y_2) = (8,-1)$. Yani $x_2 = 8$ ve $y_2 = -1$.
  • Bölme oranımız $3:4$. Bu durumda $m = 3$ ve $n = 4$.
• 3. x-koordinatını Hesaplayalım:

  Şimdi $x$ değerini bulmak için formülü kullanalım:

  $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

  $x = \frac{(4)(2) + (3)(8)}{3+4}$

  $x = \frac{8 + 24}{7}$

  $x = \frac{32}{7}$

  Bu değeri ondalık olarak yaklaşık $x \approx 4.57$ olarak buluruz.

• 4. y-koordinatını Hesaplayalım:

  Benzer şekilde, $y$ değerini bulmak için formülü kullanalım:

  $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

  $y = \frac{(4)(5) + (3)(-1)}{3+4}$

  $y = \frac{20 - 3}{7}$

  $y = \frac{17}{7}$

  Bu değeri ondalık olarak yaklaşık $y \approx 2.43$ olarak buluruz.

• 5. Sonucu Belirleyelim ve Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bölen noktanın koordinatları yaklaşık olarak $(4.57, 2.43)$'tür.

  Şimdi verilen seçeneklere bakalım:

  • A) $(4.6, 2.6)$
  • B) $(5, 2)$
  • C) $(4, 3)$
  • D) $(5.4, 1.4)$

  Hesapladığımız $x$ değeri $4.57$ olup, en yakın ondalık yuvarlamayla $4.6$ olur. Bu, A seçeneğindeki $x$ değeriyle uyumludur.

  Hesapladığımız $y$ değeri $2.43$'tür. Seçenekler arasında bu değere en yakın olan $2.6$ (A seçeneği) değeridir. Diğer seçeneklerdeki $y$ değerleri $2$, $3$ ve $1.4$ olup, $2.43$'e daha uzaktır.

  Bu durumda, hesapladığımız koordinatlara en yakın seçenek A seçeneğidir.

Cevap A seçeneğidir.