Analitik düzlemde vektörler Test 2

Birim vektörler \(\vec{i}\) ve \(\vec{j}\) olmak üzere, \(\vec{u}\) = 3\(\vec{i}\) - 4\(\vec{j}\) vektörünün uzunluğu kaç birimdir?

A) 5
B) 7
C) 1
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir vektörün uzunluğunu bulmak, o vektörün başlangıç noktasından bitiş noktasına olan mesafeyi hesaplamak anlamına gelir. Bu, genellikle Pisagor teoremi kullanılarak yapılır. Şimdi, adım adım \(\vec{u}\) = $3\vec{i} - 4\vec{j}$ vektörünün uzunluğunu bulalım.

• Adım 1: Vektörün Bileşenlerini Tanımlayalım

Verilen vektörümüz $\vec{u} = 3\vec{i} - 4\vec{j}$ şeklindedir. Burada:

• $\vec{i}$ birim vektörü, vektörün x-ekseni üzerindeki bileşenini temsil eder. Bu durumda x-bileşenimiz $a = 3$'tür.
• $\vec{j}$ birim vektörü, vektörün y-ekseni üzerindeki bileşenini temsil eder. Bu durumda y-bileşenimiz $b = -4$'tür.
• Adım 2: Vektör Uzunluğu (Büyüklüğü) Formülünü Hatırlayalım

Genel olarak, $\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}$ şeklindeki bir vektörün uzunluğu (büyüklüğü) $||\vec{v}||$ ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

$$||\vec{v}|| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Bu formül, aslında bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulmak için kullanılan Pisagor teoreminin bir uygulamasıdır.

• Adım 3: Formülü Vektörümüze Uygulayalım

Şimdi, $\vec{u}$ vektörümüzün bileşenlerini ($a=3$ ve $b=-4$) formülde yerine koyalım:

$$||\vec{u}|| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$$

• Adım 4: Hesaplamaları Yapalım

Sırasıyla kare alma ve toplama işlemlerini gerçekleştirelim:

• Önce kareleri alalım:
• $3^2 = 3 \times 3 = 9$
• $(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$ (Unutmayın, negatif bir sayının karesi her zaman pozitiftir!)
• Şimdi bu değerleri toplayalım:
• $||\vec{u}|| = \sqrt{9 + 16}$
• $||\vec{u}|| = \sqrt{25}$
• Son olarak karekökünü alalım:
• $||\vec{u}|| = 5$
• Adım 5: Sonucu Belirtelim

Yapılan hesaplamalar sonucunda, $\vec{u}$ vektörünün uzunluğunun $5$ birim olduğunu bulduk.

Cevap A seçeneğidir.