Denklemin kökü nedir Test 1

Bir dikdörtgenin alanı 40 cm² ve kenar uzunlukları x² - 13x + 40 = 0 denkleminin kökleridir.
Bu dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?

A) 13
B) 20
C) 26
D) 40

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir dikdörtgenin kenar uzunlukları ile ikinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki ilişkiyi kullanarak dikdörtgenin çevresini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Tanımlayalım.

  Soruda belirtildiği gibi, dikdörtgenin kenar uzunlukları $x^2 - 13x + 40 = 0$ denkleminin kökleridir. Bu köklere $x_1$ ve $x_2$ diyelim. Yani, dikdörtgenin bir kenarı $x_1$ cm, diğer kenarı $x_2$ cm olacaktır.

• 2. Adım: Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişkiyi (Vieta Formülleri) Hatırlayalım.

  Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde olduğunda, kökler toplamı $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ve kökler çarpımı $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ formülleriyle bulunur.

• 3. Adım: Denklemin Kökler Toplamını ve Kökler Çarpımını Bulalım.

  Verilen denklem $x^2 - 13x + 40 = 0$ şeklindedir. Bu denklemde $a=1$, $b=-13$ ve $c=40$'tır.

  • Kökler toplamı ($x_1 + x_2$): $x_1 + x_2 = -\frac{-13}{1} = 13$.
  • Kökler çarpımı ($x_1 \cdot x_2$): $x_1 \cdot x_2 = \frac{40}{1} = 40$.

  Bu durumda, dikdörtgenin kenar uzunluklarının toplamı $13$ cm ve çarpımı $40$ cm²'dir.

• 4. Adım: Dikdörtgenin Alanı ve Çevresi Formüllerini Uygulayalım.

  Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $x_1$ ve $x_2$ ise:

  • Alanı: $A = x_1 \cdot x_2$
  • Çevresi: $Ç = 2 \cdot (x_1 + x_2)$

  Soruda dikdörtgenin alanının $40 \text{ cm}^2$ olduğu verilmiş. Biz de kökler çarpımını $x_1 \cdot x_2 = 40$ olarak bulduk. Bu bilgi, kenar uzunluklarını doğru şekilde tanımladığımızı teyit eder.

• 5. Adım: Dikdörtgenin Çevresini Hesaplayalım.

  Dikdörtgenin çevresi $Ç = 2 \cdot (x_1 + x_2)$ formülüyle bulunur. Biz kökler toplamını $x_1 + x_2 = 13$ olarak bulmuştuk.

  O halde, çevre $Ç = 2 \cdot (13) = 26$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.