f(x) = ||x-2| - 3| fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Görüntü kümesi [0, ∞)'dur
B) x = -1 ve x = 5 noktalarında minimum değer alır
C) Mutlak minimum değeri 3'tür
D) 4 farklı kritik noktası vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, mutlak değer içeren bir fonksiyonun özelliklerini inceleyeceğiz. Adım adım her seçeneği değerlendirerek doğru cevabı bulalım.
-
Fonksiyonu Anlayalım:
Verilen fonksiyon $f(x) = ||x-2| - 3|$ şeklindedir. Bu, iç içe iki mutlak değer içeren bir fonksiyondur. Mutlak değer fonksiyonları, içindeki ifadenin işaretine göre farklı davranışlar sergiler ve genellikle "köşeli" grafiklere sahiptir.
-
A) Görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur
- Öncelikle en içteki mutlak değer ifadesi olan $|x-2|$'yi inceleyelim. Bu ifadenin alabileceği en küçük değer $x=2$ için $0$'dır. Diğer tüm $x$ değerleri için pozitiftir, yani $|x-2| \ge 0$.
- Şimdi bir dıştaki ifadeye geçelim: $|x-2| - 3$. Bu ifadenin alabileceği en küçük değer, $|x-2|$'nin en küçük değeri olan $0$ için $0-3 = -3$'tür. Dolayısıyla, $|x-2| - 3 \ge -3$. Bu ifadenin görüntü kümesi $[-3, \infty)$'dur.
- Son olarak, en dıştaki mutlak değeri alalım: $f(x) = ||x-2| - 3|$. İçerideki ifade (yani $|x-2|-3$) $[-3, \infty)$ aralığındaki tüm değerleri alabilir. Bu değerlerin mutlak değeri alındığında, sonuçlar $0$ ile $\infty$ arasında olacaktır. Örneğin, içerideki ifade $-3$ ise $f(x)=|-3|=3$, içerideki ifade $-1$ ise $f(x)=|-1|=1$, içerideki ifade $0$ ise $f(x)=|0|=0$, içerideki ifade $5$ ise $f(x)=|5|=5$ olur.
- Bu durumda, $f(x)$'in alabileceği en küçük değer $0$'dır (bu değer, $|x-2|-3=0$ olduğunda, yani $|x-2|=3 \implies x-2=3 \text{ veya } x-2=-3 \implies x=5 \text{ veya } x=-1$ olduğunda elde edilir). Fonksiyonun değeri sonsuza kadar artabilir.
- Dolayısıyla, $f(x)$'in görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur. Bu ifade matematiksel olarak doğrudur.
-
B) $x = -1$ ve $x = 5$ noktalarında minimum değer alır
- Bir fonksiyonun minimum değerini bulmak için, fonksiyonun alabileceği en küçük değeri ve bu değeri aldığı noktaları araştırmalıyız.
- $f(x) = ||x-2| - 3|$ bir mutlak değer fonksiyonu olduğu için, alabileceği en küçük değer $0$'dır (çünkü mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz).
- $f(x)=0$ olması için, en dıştaki mutlak değerin içindeki ifadenin $0$ olması gerekir: $|x-2| - 3 = 0$.
- Bu denklemi çözelim: $|x-2| = 3$.
- Bu durumda iki olasılık vardır:
- $x-2 = 3 \implies x = 5$
- $x-2 = -3 \implies x = -1$
- Yani, fonksiyon $x=-1$ ve $x=5$ noktalarında $0$ değerini alır. Bu değer, fonksiyonun alabileceği en küçük değer olduğu için, bu noktalarda minimum değerini alır.
- Bu ifade doğrudur.
-
C) Mutlak minimum değeri 3'tür
- Yukarıdaki B seçeneği analizimizde de gördüğümüz gibi, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $0$'dır. Bu değer $x=-1$ ve $x=5$ noktalarında elde edilir.
- $f(2)$ değerini hesaplarsak: $f(2) = ||2-2|-3| = ||0|-3| = |-3| = 3$. Bu değer, $x=2$ noktasında bir yerel maksimum değeridir, mutlak minimum değeri değildir.
- Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
-
D) 4 farklı kritik noktası vardır
- Kritik noktalar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Mutlak değer fonksiyonlarında, mutlak değerin içindeki ifadenin sıfır olduğu noktalar genellikle türevin tanımsız olduğu "köşe" noktalarıdır ve kritik nokta olarak kabul edilir.
- İçteki mutlak değerin argümanı: $x-2=0 \implies x=2$. Bu bir kritik noktadır.
- Dıştaki mutlak değerin argümanı: $|x-2|-3=0$. Bu denklemi B seçeneğinde çözmüştük ve $x=-1$ ile $x=5$ değerlerini bulmuştuk. Bunlar da kritik noktalardır.
- Dolayısıyla, fonksiyonun kritik noktaları $x=-1$, $x=2$ ve $x=5$'tir. Toplamda 3 farklı kritik noktası vardır.
- Bu ifade yanlıştır.
Seçenekleri değerlendirdiğimizde, B seçeneğinin kesinlikle doğru olduğunu görüyoruz. A seçeneği de matematiksel olarak doğru olsa da, genellikle bu tür sorularda en belirgin veya en spesifik doğru ifadeyi seçmemiz beklenir. B seçeneği, fonksiyonun minimum değerini aldığı noktaları doğrudan belirtir ki bu, fonksiyonun grafiğinin ve davranışının önemli bir özelliğidir.
Cevap B seçeneğidir.
