9. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri Nedir? Test 2

|x-3| = 2x + 1 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 2/3
D) 4/3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Mutlak değer denklemlerini çözerken dikkat etmemiz gereken bazı önemli adımlar vardır. Bu tür denklemlerde, mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif olmasına göre farklı durumları incelemeli ve bulduğumuz çözümleri mutlaka orijinal denklemde kontrol etmeliyiz. Ayrıca, mutlak değerin sonucu asla negatif olamayacağı için, denklemin sağ tarafının da pozitif veya sıfır olması gerektiğini unutmamalıyız.

Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:

• 1. Adım: Denklemin sağ tarafının koşulunu belirleyelim.

  Verilen denklem $|x-3| = 2x + 1$ şeklindedir. Mutlak değerin sonucu her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır. Bu nedenle, denklemin sağ tarafındaki ifade olan $2x+1$ de sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır:

  $2x + 1 \ge 0$

  $2x \ge -1$

  $x \ge -\frac{1}{2}$

  Bulduğumuz $x$ değerlerinin bu koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol edeceğiz. Bu koşulu sağlamayan $x$ değerleri çözüm kümesine dahil edilmez.

• 2. Adım: Mutlak değerin tanımına göre iki farklı durum inceleyelim.

  Mutlak değerin içindeki ifade ($x-3$) pozitif veya negatif olabilir. Bu iki durumu ayrı ayrı ele alarak denklemi çözelim:

  • Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır ise ($x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$).

    Bu durumda $|x-3| = x-3$ olur. Denklemi yeniden yazarsak:

    $x-3 = 2x+1$

    Şimdi bu denklemi çözelim:

    $x - 2x = 1 + 3$

    $-x = 4$

    $x = -4$

    Bu $x$ değerini, bu durum için belirlediğimiz koşul ($x \ge 3$) ile kontrol edelim: $-4 \ge 3$ midir? Hayır, $-4$ sayısı $3$'ten küçüktür. Bu nedenle $x=-4$ bu durum için bir çözüm değildir.

  • Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise ($x-3 < 0 \implies x < 3$).

    Bu durumda $|x-3| = -(x-3) = -x+3$ olur. Denklemi yeniden yazarsak:

    $-x+3 = 2x+1$

    Şimdi bu denklemi çözelim:

    $3 - 1 = 2x + x$

    $2 = 3x$

    $x = \frac{2}{3}$

    Bu $x$ değerini, bu durum için belirlediğimiz koşul ($x < 3$) ile kontrol edelim: $\frac{2}{3} < 3$ müdür? Evet, $\frac{2}{3}$ sayısı $3$'ten küçüktür. Bu nedenle $x=\frac{2}{3}$ bu durum için potansiyel bir çözümdür.

• 3. Adım: Bulunan potansiyel çözümleri genel koşul ile kontrol edelim.

  Şimdi, 1. adımda belirlediğimiz genel koşul olan $x \ge -\frac{1}{2}$'yi, Durum 2'den bulduğumuz potansiyel çözüm $x = \frac{2}{3}$ için kontrol edelim:

  $x = \frac{2}{3}$ için: $\frac{2}{3} \ge -\frac{1}{2}$ midir? Evet, $\frac{2}{3}$ pozitif bir sayı olduğu için $-\frac{1}{2}$'den büyüktür. Bu koşul da sağlanmaktadır.

  Ayrıca, $x = \frac{2}{3}$ değerini orijinal denklemde yerine koyarak da kontrol edebiliriz:

  $|\frac{2}{3}-3| = 2(\frac{2}{3})+1$

  $|\frac{2-9}{3}| = \frac{4}{3}+1$

  $|-\frac{7}{3}| = \frac{4+3}{3}$

  $\frac{7}{3} = \frac{7}{3}$

  Denklem sağlanmaktadır. Bu nedenle, denklemi sağlayan tek $x$ değeri $x = \frac{2}{3}$'tür.

• 4. Adım: $x$ değerlerinin çarpımını bulalım.

  Denklemi sağlayan tek bir $x$ değeri bulduğumuz için, bu $x$ değerlerinin çarpımı bu değerin kendisi olacaktır.

  Çarpım $= \frac{2}{3}$

Cevap A seçeneğidir.