Anlık hız nasıl bulunur? Test 1

Bir cisim \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4 \) konum denklemiyle hareket etmektedir. Buna göre cismin t=1 saniyedeki anlık hızı kaç m/s'dir?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir cismin konum denklemi verilmiş ve belirli bir andaki anlık hızı bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, türev kavramını kullanarak çözülür. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım!

• Konum Denklemini Anlama:

  Bize cismin konum denklemi $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4$ olarak verilmiş. Burada $s(t)$, cismin $t$ anındaki konumunu metre cinsinden ifade eder.

• Anlık Hız ve Türev İlişkisi:

  Fizikte, bir cismin anlık hızı, konum denkleminin zamana göre türevi alınarak bulunur. Yani, hız denklemi $v(t) = s'(t)$ şeklindedir. Bu, konumdaki değişimin zamana göre oranını verir.

• Konum Denkleminin Türevini Alma:

  Şimdi $s(t)$ denkleminin $t$'ye göre türevini alalım. Türev alma kurallarını hatırlayalım: $at^n$ ifadesinin türevi $ant^{n-1}$'dir ve sabit bir sayının türevi $0$'dır.

  • $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4$
  • $v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3) - \frac{d}{dt}(3t^2) + \frac{d}{dt}(4)$
  • $v(t) = (2 \cdot 3t^{3-1}) - (3 \cdot 2t^{2-1}) + (0)$
  • $v(t) = 6t^2 - 6t$

  Böylece cismin hız denklemini $v(t) = 6t^2 - 6t$ olarak bulduk.

• Belirli Bir Andaki Hızı Hesaplama:

  Soruda bizden $t=1$ saniyedeki anlık hız isteniyor. Bulduğumuz hız denkleminde $t$ yerine $1$ yazarak bu değeri hesaplayalım:

  • $v(1) = 6(1)^2 - 6(1)$
  • $v(1) = 6(1) - 6$
  • $v(1) = 6 - 6$
  • $v(1) = 0$ m/s

  Demek ki, cismin $t=1$ saniyedeki anlık hızı $0$ m/s'dir.

Cevap A seçeneğidir.