Basit harmonik harekette konum, hız, ivme Test 2

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum denklemi \( x = A\sin(\omega t + \phi) \) şeklindedir. Cismin hız denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( v = A\omega\cos(\omega t + \phi) \)
B) \( v = -A\omega\sin(\omega t + \phi) \)
C) \( v = A\omega\cos(\omega t + \phi) \)
D) \( v = -A\omega\cos(\omega t + \phi) \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Basit harmonik hareket, doğada ve mühendislikte sıkça karşılaştığımız önemli bir konudur. Bir cismin konumunu zamanla nasıl değiştiğini bildiğimizde, hızını ve ivmesini de kolayca bulabiliriz. Bu soruda, konum denklemi verilen bir cismin hız denklemini bulacağız.

Hatırlayalım ki, bir cismin hızı, konumunun zamana göre türevidir. Yani, matematiksel olarak $ v = \frac{dx}{dt} $ şeklinde ifade edilir.

• Bize verilen konum denklemi şöyledir:

  $ x = A\sin(\omega t + \phi) $

  Burada;

  • $ A $: Genlik (cismin denge konumundan maksimum uzaklığı)
  • $ \omega $: Açısal frekans (hareketin ne kadar hızlı tekrarlandığını gösterir)
  • $ t $: Zaman
  • $ \phi $: Başlangıç fazı (cismin $ t=0 $ anındaki konumunu belirler)

• Hız denklemini bulmak için konum denkleminin zamana göre türevini almalıyız:

  $ v = \frac{d}{dt} [A\sin(\omega t + \phi)] $

• Türev alma kurallarını hatırlayalım:

  • Sabit bir sayının (burada $ A $) türevini alırken, sabiti türevin dışına çıkarabiliriz.
  • $ \sin(u) $ fonksiyonunun türevi $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dt} $ şeklindedir (zincir kuralı).

• Bu durumda, $ u = \omega t + \phi $ olarak düşünebiliriz. Şimdi $ u $'nun zamana göre türevini alalım:

  $ \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} (\omega t + \phi) $

  Burada $ \omega $ ve $ \phi $ sabit sayılar olduğu için:

  $ \frac{d}{dt} (\omega t) = \omega $

  $ \frac{d}{dt} (\phi) = 0 $

  Dolayısıyla, $ \frac{du}{dt} = \omega + 0 = \omega $ olur.

• Şimdi bu bilgileri kullanarak hız denklemini oluşturalım:

  $ v = A \cdot \frac{d}{dt} [\sin(\omega t + \phi)] $

  $ v = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \cdot \frac{d}{dt}(\omega t + \phi) $

  $ v = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \cdot \omega $

• Denklemi daha düzenli bir şekilde yazarsak:

  $ v = A\omega\cos(\omega t + \phi) $

• Bu sonuç, seçeneklerimizle karşılaştırıldığında A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.