Kısmi integrasyon yöntemi nedir Test 2

∫x²·e^x dx integralini çözmek için iki kez kısmi integrasyon uygulanması gerekiyor. İlk adımda u = x² ve dv = e^x dx seçildiğinde elde edilen ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) x²·e^x - 2∫x·e^x dx
B) x²·e^x - ∫x·e^x dx
C) x²·e^x + 2∫x·e^x dx
D) x²·e^x - ∫e^x dx

Bu soruyu çözmek için kısmi integrasyon yöntemini kullanacağız. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini bulmak için kullanılan güçlü bir tekniktir. Formülü hatırlayalım:

• Kısmi İntegrasyon Formülü: $\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$

Şimdi, bize verilen integral $\int x^2 \cdot e^x dx$ için ilk adımda $u$ ve $dv$ seçimlerini yapalım ve formülü uygulayalım:

• 1. Adım: $u$ ve $dv$ Seçimi

  Soruda belirtildiği gibi, $u$ ve $dv$ seçimlerini yapıyoruz:

  • $u = x^2$ (Çünkü $x^2$'nin türevi daha basit bir ifade olan $2x$'i verir.)
  • $dv = e^x dx$ (Çünkü $e^x$'in integrali yine $e^x$'tir ve basittir.)
• 2. Adım: $du$ ve $v$ Hesaplaması

  Şimdi seçtiğimiz $u$ ve $dv$ değerlerinden $du$ ve $v$ değerlerini bulmalıyız:

  • $u = x^2$ ise, her iki tarafın türevini alarak $du$'yu buluruz: $du = \frac{d}{dx}(x^2) dx = 2x dx$
  • $dv = e^x dx$ ise, her iki tarafın integralini alarak $v$'yi buluruz: $\int dv = \int e^x dx \implies v = e^x$ (Burada integral sabiti $C$'yi şimdilik eklemiyoruz, çünkü kısmi integrasyon formülünde birbirini götürecektir.)
• 3. Adım: Kısmi İntegrasyon Formülünü Uygulama

  Şimdi bulduğumuz $u$, $v$, $du$ ve $dv$ değerlerini kısmi integrasyon formülüne yerleştirelim:

  $\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$

  $\int x^2 \cdot e^x dx = (x^2) \cdot (e^x) - \int (e^x) \cdot (2x dx)$

• 4. Adım: İfadeyi Düzenleme

  Elde ettiğimiz ifadeyi daha anlaşılır bir şekilde yazalım:

  $\int x^2 \cdot e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

  İntegral içindeki $2$ sabitini integral dışına alabiliriz:

  $\int x^2 \cdot e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

Bu ifade, soruda istenen ilk kısmi integrasyon adımının sonucudur. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.