∫(x²+1)·e^x dx integralini çözmek için kısmi integrasyon uygulanacaktır. En uygun seçim aşağıdakilerden hangisidir?
A) u = x²+1, dv = e^x dx
B) u = e^x, dv = (x²+1) dx
C) u = x², dv = (1+e^x) dx
D) u = 1, dv = (x²+1)·e^x dx
Merhaba öğrenciler!
Bugün, kısmi integrasyon yöntemini kullanarak $ \int(x^2+1) \cdot e^x dx $ integralini çözmek için en uygun $u$ ve $dv$ seçimini nasıl yapacağımızı öğreneceğiz. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımı şeklinde olan integralleri çözmek için güçlü bir araçtır.
- Kısmi İntegrasyon Formülü: Kısmi integrasyonun temel formülü $ \int u dv = uv - \int v du $ şeklindedir. Buradaki amacımız, başlangıçtaki $ \int u dv $ integralini, çözmesi daha kolay olan $ \int v du $ integraline dönüştürmektir.
- $u$ ve $dv$ Seçiminin Önemi: Bu yöntemde $u$ ve $dv$ seçimimiz kritik öneme sahiptir. Doğru seçim, integralin basitleşmesini sağlarken, yanlış seçim integralin daha da karmaşık hale gelmesine neden olabilir. Genel bir kural olarak, $u$ öyle bir fonksiyon olmalıdır ki türevi ($du$) daha basit olsun, $dv$ ise öyle bir fonksiyon olmalıdır ki integrali ($v$) kolayca alınabilsin ve $v$ fonksiyonu çok karmaşık hale gelmesin.
- "LIATE" Kuralı (veya "ILATE"): $u$ seçiminde bize yardımcı olan pratik bir kural "LIATE" (veya "ILATE") kuralıdır. Bu kural, $u$ için öncelik sırasını belirler:
- L: Logaritmik fonksiyonlar (örneğin, $ \ln x $)
- I: Ters trigonometrik fonksiyonlar (örneğin, $ \arctan x $)
- A: Cebirsel fonksiyonlar (örneğin, $ x^2+1 $, $ x $)
- T: Trigonometrik fonksiyonlar (örneğin, $ \sin x $, $ \cos x $)
- E: Üstel fonksiyonlar (örneğin, $ e^x $, $ a^x $)
Bu listede yukarıda yer alan fonksiyonlar genellikle $u$ olarak seçilmelidir.
- İntegrali İnceleyelim: Verilen integral $ \int(x^2+1) \cdot e^x dx $ şeklindedir. Burada iki farklı türde fonksiyonun çarpımı bulunmaktadır:
- $ (x^2+1) $: Bu bir cebirsel (polinom) fonksiyondur.
- $ e^x $: Bu bir üstel fonksiyondur.
- "LIATE" Kuralını Uygulayalım: "LIATE" kuralına göre, "A" (Cebirsel) harfi "E" (Üstel) harfinden önce gelir. Bu nedenle, $u$ olarak cebirsel fonksiyonu, $dv$ olarak da üstel fonksiyonu seçmek en uygun yaklaşımdır.
- Eğer $ u = x^2+1 $ seçersek, $ du = (2x) dx $ olur. $u$'nun türevi, orijinal $u$'dan daha basit bir polinomdur (derecesi 2'den 1'e düşmüştür).
- Eğer $ dv = e^x dx $ seçersek, $ v = \int e^x dx = e^x $ olur. $dv$'nin integrali kolayca alınabilir ve $e^x$ fonksiyonu integral alındığında karmaşıklaşmaz.
Bu seçimle, $ \int v du = \int e^x (2x) dx $ integrali, orijinal integrale göre daha basittir çünkü polinomun derecesi azalmıştır. Bu, kısmi integrasyonu bir kez daha uygulayarak çözülebilecek bir forma dönüşmüştür.
- Diğer Seçenekleri Değerlendirelim:
- B) $ u = e^x, dv = (x^2+1) dx $: Eğer $u = e^x$ seçersek, $du = e^x dx$ olur (basitleşmez). Eğer $dv = (x^2+1) dx$ seçersek, $v = \int (x^2+1) dx = \frac{x^3}{3} + x$ olur (daha karmaşık bir polinom elde ederiz). Bu durumda $ \int v du = \int (\frac{x^3}{3} + x) e^x dx $ integrali orijinalinden daha karmaşık hale gelir.
- C) $ u = x^2, dv = (1+e^x) dx $: Bu seçim, integralin yapısını uygun şekilde bölmez ve kısmi integrasyon için standart bir yaklaşım değildir.
- D) $ u = 1, dv = (x^2+1) \cdot e^x dx $: Bu seçimde $du = 0$ olur, ancak $v$ orijinal integralin kendisi olacağı için bir çözüm sağlamaz.
Bu analizlere göre, $u$ ve $dv$ için en uygun seçim, cebirsel terimin türevini basitleştiren ve üstel terimin integralini kolayca almamızı sağlayan seçenektir.
Cevap A seçeneğidir.
