Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bileşik faiz mantığını kullanarak bir paranın belirli bir süre sonunda başlangıçtaki değerinin kaç katına ulaşacağını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Faiz Oranını Anlama
- Soruda verilen faiz oranı %20'dir. Bu, her yıl paranın %20'si kadar ek kazanç elde edileceği anlamına gelir. Eğer başlangıçtaki paramız $P$ ise, bir yıl sonra bu para $P + P \times 0.20$ olacaktır.
- 2. Adım: Bir Yıl Sonundaki Durumu Hesaplama
- Bir yıl sonunda paramız, başlangıçtaki miktarının $1 + 0.20 = 1.20$ katına ulaşır. Yani, başlangıçtaki paramız $P_0$ ise, 1 yıl sonra $P_1 = P_0 \times 1.20$ olur.
- 3. Adım: Bileşik Faiz Mantığını Uygulama
- Bileşik faizde, kazanılan faiz ana paraya eklenir ve bir sonraki dönemde faiz, bu yeni toplam üzerinden hesaplanır.
- 1. yıl sonunda: Para $P_0 \times 1.20$ olur.
- 2. yıl sonunda: 2. yılın başında elimizdeki miktar $P_0 \times 1.20$'dir. Bu miktara tekrar %20 faiz uygulanır. Yani, $(P_0 \times 1.20) \times 1.20 = P_0 \times (1.20)^2$ olur.
- 3. yıl sonunda: Benzer şekilde, $P_0 \times (1.20)^3$ olur.
- 4. Adım: Genel Formülü Oluşturma
- Bu örüntüyü fark ettiniz mi? Her yıl sonunda, önceki yılın sonundaki parayı $1.20$ ile çarpıyoruz. Eğer $n$ yıl geçerse, para miktarı başlangıçtaki paranın $P_0 \times (1.20)^n$ katına ulaşır. Genel bileşik faiz formülü $A = P (1 + r)^n$ şeklindedir. Burada $A$ son miktar, $P$ başlangıç miktarı, $r$ faiz oranı (ondalık olarak) ve $n$ yıl sayısıdır.
- 5. Adım: Sorudaki Değerleri Yerine Koyma
- Soruda verilen değerler:
- Başlangıçtaki para miktarı: $P_0$ (bilinmiyor ama oran sorduğu için önemli değil)
- Faiz oranı ($r$): %20 = $0.20$
- Yıl sayısı ($n$): 10 yıl
- Bu değerleri formülde yerine koyarsak, 10 yıl sonraki para miktarı $P_{10}$ şöyle bulunur:
- $P_{10} = P_0 \times (1 + 0.20)^{10}$
- $P_{10} = P_0 \times (1.20)^{10}$
- 6. Adım: Kaç Katına Ulaştığını Bulma
- Soru, paranın başlangıçtaki kaç katına ulaştığını soruyor. Bu, $P_{10}$'un $P_0$'a oranını bulmak demektir:
- $\frac{P_{10}}{P_0} = \frac{P_0 \times (1.20)^{10}}{P_0}$
- $\frac{P_{10}}{P_0} = (1.20)^{10}$
- Yani, para başlangıçtaki miktarının $(1.20)^{10}$ katına ulaşır.
- 7. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz sonuç $(1.20)^{10}$'dur. Seçeneklere baktığımızda, C seçeneği $1,2^{10}$ olarak verilmiştir. Bu ifade, $1.20^{10}$ ile aynıdır.
Cevap C seçeneğidir.
