Bohr atom modeli özellikleri (Yörüngeli model) Test 2

Hidrojen atomunda n=2 enerji seviyesindeki bir elektron temel enerji seviyesine (n=1) döndüğünde açığa çıkan enerji $E$ kadardır.
Aynı atomda n=4 enerji seviyesindeki bir elektron n=2 enerji seviyesine döndüğünde açığa çıkan enerji kaç $E$ olur?

A) $\frac{1}{4}E$
B) $\frac{3}{4}E$
C) $\frac{5}{4}E$
D) $\frac{3}{2}E$

Merhaba öğrenciler! Bu soruda, hidrojen atomundaki elektron geçişleri sırasında açığa çıkan enerjiyi hesaplayacağız. Bu tür soruları çözmek için atomun enerji seviyeleri formülünü bilmemiz gerekiyor.

• Adım 1: Hidrojen atomunda enerji seviyesi formülünü hatırlayalım.

  Bir hidrojen atomundaki elektronun $n$ enerji seviyesindeki enerjisi şu formülle verilir:

  $E_n = -\frac{R_H}{n^2}$

  Burada $R_H$ Rydberg sabiti olup yaklaşık $13.6 \text{ eV}$ değerindedir. Elektron yüksek bir enerji seviyesinden ($n_i$) daha düşük bir enerji seviyesine ($n_f$) geçtiğinde açığa çıkan enerji, iki enerji seviyesi arasındaki farkın mutlak değeridir:

  $\Delta E = |E_{n_f} - E_{n_i}| = E_{n_i} - E_{n_f}$ (çünkü $E_{n_i}$ daha az negatif, yani daha büyüktür)

  $\Delta E = \left( -\frac{R_H}{n_i^2} \right) - \left( -\frac{R_H}{n_f^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

• Adım 2: İlk durum için açığa çıkan enerjiyi ($E$) hesaplayalım.

  Soruda belirtildiği gibi, bir elektron $n=2$ enerji seviyesinden temel enerji seviyesine ($n=1$) döndüğünde açığa çıkan enerji $E$ kadardır. Burada $n_i = 2$ ve $n_f = 1$ olur.

  $E = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$

  $E = R_H \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$

  $E = R_H \left( \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \right)$

  $E = R_H \left( \frac{3}{4} \right)$

  Bu, $E$ enerjisinin $R_H$'nin $\frac{3}{4}$ katı olduğunu gösterir.

• Adım 3: İkinci durum için açığa çıkan enerjiyi ($E'$) hesaplayalım.

  Şimdi, aynı atomda bir elektron $n=4$ enerji seviyesinden $n=2$ enerji seviyesine döndüğünde açığa çıkan enerjiyi ($E'$) bulalım. Burada $n_i = 4$ ve $n_f = 2$ olur.

  $E' = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$

  $E' = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$

  Kesirleri çıkarmak için ortak paydayı (16) bulalım:

  $E' = R_H \left( \frac{4}{16} - \frac{1}{16} \right)$

  $E' = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$

  Bu, $E'$ enerjisinin $R_H$'nin $\frac{3}{16}$ katı olduğunu gösterir.

• Adım 4: $E'$ enerjisini $E$ cinsinden ifade edelim.

  Şimdi $E'$ ve $E$ arasındaki ilişkiyi bulalım. İki ifademiz var:

  • $E = R_H \left( \frac{3}{4} \right)$
  • $E' = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$

  $E'$'yi $E$ cinsinden bulmak için, $E'$ ifadesini $E$ ifadesine bölebiliriz:

  $\frac{E'}{E} = \frac{R_H \left( \frac{3}{16} \right)}{R_H \left( \frac{3}{4} \right)}$

  Rydberg sabitleri ($R_H$) sadeleşir:

  $\frac{E'}{E} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{3}{4}}$

  Kesirlerle bölme işlemi yaparken, ikinci kesri ters çevirip çarparız:

  $\frac{E'}{E} = \frac{3}{16} \times \frac{4}{3}$

  Çarpma işlemini yapalım:

  $\frac{E'}{E} = \frac{12}{48}$

  Kesri sadeleştirelim:

  $\frac{E'}{E} = \frac{1}{4}$

  Buradan $E' = \frac{1}{4} E$ sonucunu elde ederiz.

Bu hesaplamalara göre, $n=4$'ten $n=2$'ye geçişte açığa çıkan enerji, $n=2$'den $n=1$'e geçişte açığa çıkan enerjinin $\frac{1}{4}$'ü kadardır.

Cevap B seçeneğidir.