ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm, |BC| = 10 cm'dir. A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. Buna göre |BD| kaç cm'dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgende iç açıortay uzunluğunu bulmak için Açıortay Teoremi'ni kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Açıortay Teoremi'ni Hatırlayalım: Bir üçgende bir köşeden çizilen iç açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Yani, ABC üçgeninde A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını D noktasında kesiyorsa, aşağıdaki oran geçerlidir:
$ rac{|AB|}{|AC|} = rac{|BD|}{|DC|}$
- 2. Verilen Bilgileri Yerine Yazalım: Soruda bize $|AB| = 12$ cm ve $|AC| = 8$ cm olarak verilmiş. Bu değerleri yukarıdaki oranda yerine yazarsak:
$ rac{12}{8} = rac{|BD|}{|DC|}$
- 3. Oranı Sadeleştirelim: $ rac{12}{8}$ kesrini sadeleştirdiğimizde, her iki sayıyı da $4$'e bölebiliriz:
$ rac{12 \div 4}{8 \div 4} = rac{3}{2}$
Yani, $ rac{|BD|}{|DC|} = rac{3}{2}$ olur.
- 4. Kenar Uzunluklarını Orantı Sabiti ile İfade Edelim: Bu oran bize $|BD|$ uzunluğunun $3k$ ve $|DC|$ uzunluğunun $2k$ şeklinde ifade edilebileceğini gösterir. Burada $k$ bir orantı sabitidir.
$|BD| = 3k$
$|DC| = 2k$
- 5. BC Kenarının Toplam Uzunluğunu Kullanarak $k$ Değerini Bulalım: Soruda $|BC| = 10$ cm olarak verilmiş. D noktası BC kenarı üzerinde olduğu için, $|BC|$ uzunluğu $|BD|$ ile $|DC|$ uzunluklarının toplamına eşittir:
$|BC| = |BD| + |DC|$
$10 = 3k + 2k$
$10 = 5k$
Şimdi $k$ değerini bulmak için her iki tarafı $5$'e bölelim:
$k = rac{10}{5} = 2$
- 6. $|BD|$ Uzunluğunu Hesaplayalım: Bizden $|BD|$ uzunluğu isteniyordu. $|BD| = 3k$ olduğunu biliyoruz ve $k=2$ bulduk.
$|BD| = 3 \times 2 = 6$ cm
Böylece $|BD|$ uzunluğunu $6$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
