f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1} fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun türevi f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2} olduğuna göre, fonksiyonun tüm reel sayılarda artan olup olmadığını inceleyiniz.
A) Tüm reel sayılarda artandır
B) Tüm reel sayılarda azalandır
C) (-∞, 1) aralığında artan, (1, ∞) aralığında azalandır
D) (-∞, 1) ve (1, ∞) aralıklarında artandır
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğunu anlamak için türevinin işaretini inceleriz. Eğer bir aralıkta türev pozitif ($f'(x) > 0$) ise fonksiyon o aralıkta artandır. Eğer türev negatif ($f'(x) < 0$) ise fonksiyon o aralıkta azalandır.
Bize verilen fonksiyonun türevi $f'(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2}$ şeklindedir. Şimdi bu türevin işaretini inceleyelim.
Öncelikle payda kısmına bakalım: $(x - 1)^2$. Bir sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir. Ancak $x=1$ değeri paydayı sıfır yaptığı için fonksiyonun tanım kümesinde değildir. Dolayısıyla $x \neq 1$ olmak üzere, $(x - 1)^2$ ifadesi her zaman pozitiftir. Yani payda daima $0$'dan büyüktür.
Şimdi de pay kısmına bakalım: $x^2 - 2x + 4$. Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Bu ifadenin işaretini belirlemek için diskriminantına ($\Delta$) bakabiliriz.
Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle bulunur. Burada $a=1$, $b=-2$ ve $c=4$'tür.
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12$.
Diskriminant negatif ($\Delta < 0$) olduğunda ve baş katsayı ($a=1$) pozitif olduğunda, ikinci dereceden ifade her zaman pozitiftir. Yani $x^2 - 2x + 4 > 0$ ifadesi tüm reel sayılar için geçerlidir.
Sonuç olarak, $f'(x) = \frac{\text{pozitif}}{\text{pozitif}}$ şeklindedir. Bu da demektir ki, $x \neq 1$ olmak üzere, $f'(x)$ her zaman pozitiftir ($f'(x) > 0$).
Fonksiyonun türevi, tanım kümesindeki her noktada pozitif olduğu için, fonksiyon tanım kümesindeki tüm aralıklarda artandır. Fonksiyonun tanım kümesi $x \neq 1$ olduğu için, bu aralıklar $(-\infty, 1)$ ve $(1, \infty)$'dur.
Bu durumda, fonksiyon $(-\infty, 1)$ aralığında artan ve $(1, \infty)$ aralığında artandır.
