Artan azalan fonksiyonlar ve türev ilişkisi Test 2

Bir fonksiyonun türevinin grafiği aşağıdaki gibidir:
- x < 2 için türev pozitif
- x = 2'de türev sıfır
- x > 2 için türev negatif
Buna göre bu fonksiyonla ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) (-∞, 2) aralığında artandır
B) (2, ∞) aralığında azalandır
C) x = 2'de yerel minimumu vardır
D) x = 2'de yerel maksimumu vardır

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun türevinin işaretlerini kullanarak fonksiyonun kendisi hakkında yorum yapmayı öğreneceğiz. Türev, bir fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu ve yerel ekstremum noktalarını (maksimum veya minimum) belirlememizde bize çok yardımcı olan güçlü bir araçtır. Şimdi adım adım soruyu inceleyelim:

• Türevin İşareti ve Fonksiyonun Davranışı:

  Bir fonksiyonun türevinin işareti, o fonksiyonun belirli bir aralıkta nasıl davrandığını gösterir:

  • Eğer bir aralıkta $f'(x) > 0$ ise, fonksiyon o aralıkta artandır. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de artar.
  • Eğer bir aralıkta $f'(x) < 0$ ise, fonksiyon o aralıkta azalandır. Yani, $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri azalır.
  • Eğer bir noktada $f'(x) = 0$ ise, bu nokta bir yerel ekstremum (maksimum veya minimum) adayıdır.
• Verilen Bilgileri Değerlendirelim:

  Soruda bize $f(x)$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ hakkında şu bilgiler verilmiş:

  • $x < 2$ için türev pozitif: Bu demektir ki $f'(x) > 0$ for $x \in (-\infty, 2)$.
  • $x = 2$'de türev sıfır: Bu demektir ki $f'(2) = 0$.
  • $x > 2$ için türev negatif: Bu demektir ki $f'(x) < 0$ for $x \in (2, \infty)$.
• Seçenekleri İnceleyelim:

  Şimdi bu bilgiler ışığında seçenekleri tek tek değerlendirelim:

  • A) $(-\infty, 2)$ aralığında artandır

    Yukarıdaki bilgilerde $x < 2$ için $f'(x) > 0$ olduğu belirtilmiştir. Türev pozitif olduğunda fonksiyon artan olacağından, bu ifade doğrudur.

  • B) $(2, \infty)$ aralığında azalandır

    Yukarıdaki bilgilerde $x > 2$ için $f'(x) < 0$ olduğu belirtilmiştir. Türev negatif olduğunda fonksiyon azalan olacağından, bu ifade de doğrudur.

  • C) $x = 2$'de yerel minimumu vardır

    Bir fonksiyonun yerel ekstremumlarını belirlemek için "Birinci Türev Testi"ni kullanırız. Bu test, türevin işaretinin kritik nokta etrafında nasıl değiştiğine bakar:

    • Eğer türev, kritik noktadan önce pozitif ($+$) ve sonra negatif ($-$) oluyorsa, o noktada yerel maksimum vardır.
    • Eğer türev, kritik noktadan önce negatif ($-$) ve sonra pozitif ($+$) oluyorsa, o noktada yerel minimum vardır.

    Bizim durumumuzda, $x=2$ kritik noktadır ($f'(2)=0$).

    • $x < 2$ için $f'(x) > 0$ (pozitif).
    • $x > 2$ için $f'(x) < 0$ (negatif).

    Yani türev, $x=2$ noktasında işaretini pozitiften negatife değiştirmiştir. Bu durum, $x=2$'de bir yerel maksimum olduğunu gösterir. Dolayısıyla, "$x = 2$'de yerel minimumu vardır" ifadesi yanlıştır.

  • D) $x = 2$'de yerel maksimumu vardır

    Az önce C seçeneğini incelerken yaptığımız analizde, türevin işaretinin $x=2$ noktasında pozitiften negatife değiştiğini ve bunun bir yerel maksimuma işaret ettiğini bulduk. Bu ifade doğrudur.

• Sonuç:

  Soruda bizden yanlış olan ifadeyi bulmamız isteniyordu. Yaptığımız incelemeler sonucunda C seçeneğinin yanlış olduğunu belirledik.

Cevap C seçeneğidir.