f(x) = \ln(x² + 1) fonksiyonu veriliyor. Türevi f'(x) = \frac{2x}{x² + 1} olduğuna göre, bu fonksiyonun azalan olduğu aralık hangisidir?
A) (-∞, 0)Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için, fonksiyonun birinci türevinin işaretini incelememiz gerekir. Eğer birinci türev negatifse, fonksiyon o aralıkta azalandır.
Bize verilen fonksiyon $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ ve türevi $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$'dir.
Fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için türevi sıfırdan küçük yapan $x$ değerlerini bulmalıyız. Yani $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
Eşitsizliği yazalım: $\frac{2x}{x^2 + 1} < 0$.
Bu eşitsizliği çözmek için pay ve paydanın işaretlerini inceleyelim:
Payda kısmında $x^2 + 1$ ifadesi bulunmaktadır. Herhangi bir gerçek $x$ değeri için $x^2 \ge 0$ olduğundan, $x^2 + 1 \ge 1$ olur. Bu da demektir ki payda her zaman pozitif bir değer alır ($x^2 + 1 > 0$).
Bir kesrin işaretinin negatif olması için (yani kesrin sıfırdan küçük olması için), paydanın pozitif olduğu durumda payın negatif olması gerekir. Eğer payda pozitifse, kesrin işaretini sadece pay belirler.
Bu durumda, $\frac{2x}{x^2 + 1} < 0$ eşitsizliğinin sağlanması için payın, yani $2x$'in negatif olması gerekir.
$2x < 0$ eşitsizliğini çözelim. Her iki tarafı $2$'ye böldüğümüzde $x < 0$ sonucunu elde ederiz.
Bu, fonksiyonun $x$ değerleri $0$'dan küçük olduğunda azalan olduğu anlamına gelir. $x < 0$ aralığı $(-\infty, 0)$ şeklinde ifade edilir.
Bu aralık, verilen seçeneklerden A seçeneğine karşılık gelmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
