Artan azalan fonksiyonlar ve türev ilişkisi Test 2

Bir bakteri populasyonunun büyümesi P(t) = 1000e^{0.1t} fonksiyonu ile modellenmiştir. Bu populasyonun büyüme hızının (türevinin) her zaman pozitif olması ne anlama gelir?

A) Populasyon her zaman azalmaktadır
B) Populasyon her zaman artmaktadır
C) Populasyon sabit kalmaktadır
D) Populasyonun büyüme hızı değişkendir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir bakteri popülasyonunun büyümesini modelleyen bir fonksiyonu ve bu popülasyonun büyüme hızının ne anlama geldiğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonu Anlayalım:

  Bakteri popülasyonunun büyümesi $P(t) = 1000e^{0.1t}$ fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada:

  • $P(t)$ belirli bir $t$ anındaki bakteri popülasyonunun büyüklüğünü temsil eder.
  • $t$ zamanı (genellikle saat veya gün cinsinden) temsil eder.
  • $1000$ başlangıçtaki (yani $t=0$ anındaki) bakteri sayısını temsil eder ($P(0) = 1000e^{0.1 \cdot 0} = 1000e^0 = 1000 \cdot 1 = 1000$).
  • $e$ Euler sayısıdır (yaklaşık $2.718$).
  • $0.1$ büyüme oranını gösteren bir sabittir.
• 2. Büyüme Hızı Ne Demektir?

  Bir fonksiyonun büyüme hızı, o fonksiyonun türevi ile ifade edilir. Yani, $P(t)$ popülasyon fonksiyonunun büyüme hızı, $P'(t)$ türevi ile bulunur.

• 3. Türevi Hesaplayalım:

  Üstel fonksiyonların türevini hatırlayalım: Eğer $f(x) = ae^{bx}$ ise, $f'(x) = abe^{bx}$ olur.

  Bizim fonksiyonumuz $P(t) = 1000e^{0.1t}$ olduğuna göre, $a=1000$ ve $b=0.1$ diyebiliriz. Şimdi türevini alalım:

  $P'(t) = 1000 \cdot (0.1)e^{0.1t}$

  $P'(t) = 100e^{0.1t}$

  Bu $P'(t)$ ifadesi, popülasyonun $t$ anındaki anlık büyüme hızını gösterir.

• 4. Büyüme Hızının İşaretini İnceleyelim:

  Soruda bize büyüme hızının (yani $P'(t)$'nin) her zaman pozitif olduğu söyleniyor. Bakalım bu doğru mu:

  • $100$ sayısı pozitif bir sayıdır.
  • $e^{0.1t}$ ifadesi, $e$ sayısının herhangi bir kuvveti olduğu için her zaman pozitif bir değer alır. ($e$ yaklaşık $2.718$ olduğu için, pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti de pozitif olacaktır. Örneğin, $e^2$, $e^{-1}$, $e^0$ hepsi pozitiftir.)

  Dolayısıyla, pozitif bir sayı ($100$) ile her zaman pozitif olan bir ifade ($e^{0.1t}$) çarpıldığında sonuç her zaman pozitif olacaktır. Yani, $P'(t) = 100e^{0.1t}$ ifadesi her zaman $0$'dan büyüktür ($P'(t) > 0$).

• 5. Pozitif Türevin Anlamı:

  Matematikte, bir fonksiyonun türevi pozitifse, o fonksiyon artan demektir. Yani, $P'(t) > 0$ olması, $P(t)$ fonksiyonunun her zaman arttığı anlamına gelir.

  Bu durumda, bakteri popülasyonunun büyüme hızı her zaman pozitif olduğu için, popülasyonun kendisi (bakteri sayısı) her zaman artmaktadır.

• 6. Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Populasyon her zaman azalmaktadır: Bu, türevin her zaman negatif olması durumunda geçerli olurdu ($P'(t) < 0$). Yanlış.
  • B) Populasyon her zaman artmaktadır: Bu, türevin her zaman pozitif olması durumunda geçerlidir ($P'(t) > 0$). Doğru.
  • C) Populasyon sabit kalmaktadır: Bu, türevin her zaman sıfır olması durumunda geçerli olurdu ($P'(t) = 0$). Yanlış.
  • D) Populasyonun büyüme hızı değişkendir: Büyüme hızı olan $P'(t) = 100e^{0.1t}$ ifadesi $t$'ye bağlı olduğu için evet değişkendir. Ancak soru, büyüme hızının *pozitif olmasının* ne anlama geldiğini soruyor. Pozitif olması, popülasyonun artması anlamına gelir. Büyüme hızının değişken olması, popülasyonun artış hızının zamanla değiştiği anlamına gelir, ancak artışın kendisi devam eder. Bu seçenek, sorunun asıl amacını tam olarak karşılamaz.

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevinin her zaman pozitif olması, o fonksiyonun değerinin sürekli olarak arttığı anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.