ABC üçgeninde diklik merkezi H noktasıdır. |AB| = 10 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 6 cm olduğuna göre, A köşesinden [BC] kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
A) 4.8
B) 5.2
C) 6.4
D) 7.2
Bu soruyu adım adım çözerek, üçgenlerde yükseklik kavramını ve Pisagor Teoremi'ni nasıl kullanacağımızı öğrenelim.
- Adım 1: Üçgenin Türünü Belirleyelim
- Öncelikle, verilen kenar uzunluklarına bakarak ABC üçgeninin özel bir üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Kenar uzunlukları $|AB| = 10$ cm, $|AC| = 8$ cm ve $|BC| = 6$ cm'dir.
- Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).
- Verilen kenarları kontrol edelim: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. En uzun kenarın karesi ise $10^2 = 100$.
- Gördüğümüz gibi, $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, $\triangle ABC$ bir dik üçgendir.
- Dik açı, en uzun kenar olan hipotenüsün (AB kenarı) karşısındaki köşede bulunur. Dolayısıyla, C köşesindeki açı $90^\circ$ (dik açı)dir.
- Adım 2: Diklik Merkezi Bilgisini Yorumlayalım
- Soruda "diklik merkezi H noktasıdır" bilgisi verilmiş. Bir dik üçgende diklik merkezi, dik açının bulunduğu köşedir. Bu durumda, H noktası C köşesidir. Bu bilgi, üçgenin dik üçgen olduğunu doğrulamaktadır.
- Adım 3: Üçgenin Alanını Hesaplayalım
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
- Alan($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} \times |BC| \times |AC|$
- Alan($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} \times 6 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$
- Alan($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} \times 48 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$.
- Adım 4: İstenen Yüksekliği Belirleyelim ve Hesaplayalım
- Soru metninde "A köşesinden [BC] kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu" sorulmaktadır. C köşesi dik açı olduğu için, A köşesinden [BC] kenarına çizilen yükseklik aslında [AC] kenarının kendisidir ve uzunluğu $8$ cm'dir.
- Ancak, seçeneklerde $8$ cm bulunmamakta ve $4.8$ cm gibi bir değer yer almaktadır. Bu durum, sorunun aslında dik üçgenlerde sıkça sorulan "dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse çizilen yüksekliğin" kastedildiğini düşündürmektedir. Bu nedenle, C köşesinden hipotenüs AB'ye çizilen yüksekliği ($h_C$) bulalım.
- Üçgenin alanı, herhangi bir kenar (taban) ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
- Alan($\triangle ABC$) $= \frac{1}{2} \times |AB| \times h_C$
- Daha önce alanı $24 \text{ cm}^2$ olarak bulmuştuk ve $|AB| = 10$ cm'dir.
- $24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h_C$
- $24 = 5 \times h_C$
- $h_C = \frac{24}{5}$
- $h_C = 4.8 \text{ cm}$.
Bu durumda, dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu $4.8$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
