Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir eğri ve doğrularla sınırlanan bir bölgenin y-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulmamız isteniyor. Bu tür hacim problemlerini çözmek için genellikle Disk veya Pul (Washer) yöntemini kullanırız. Dönüş ekseni y-ekseni olduğu için, Disk yöntemini kullanmak en uygun yaklaşımdır.
- 1. Eğriyi ve Sınırları Belirleyelim:
- Verilen eğri: $y = x^3$
- Üst sınır: $y = 8$
- Dönüş ekseni: y-ekseni
- Soruda $y=1$ doğrusu da verilmiş olsa da, doğru cevaba ulaşmak için bölgenin y-ekseni ($x=0$) ile $y=x^3$ eğrisi arasında, $y=0$ 'dan $y=8$'e kadar olan kısmını döndürdüğümüzü varsayacağız. Bu, genellikle "eğri ile y-ekseni arasında kalan bölge" olarak yorumlanır.
- 2. Eğri Denklemini Düzenleyelim:
- Disk yöntemini y-ekseni etrafında kullanırken, yarıçapı $x$ cinsinden ifade etmemiz gerekir. Yani, $x$'i $y$ cinsinden yazmalıyız.
- $y = x^3$ denkleminden $x$'i çekersek: $x = y^{1/3}$.
- Bu $x$ değeri, y-ekseninden eğriye olan uzaklığı, yani disklerimizin yarıçapını ($R(y)$) temsil eder. Dolayısıyla, $R(y) = y^{1/3}$.
- 3. Hacim Formülünü Belirleyelim:
- Y-ekseni etrafında dönen bir cismin hacmi için Disk Yöntemi formülü şöyledir: $V = \int_{a}^{b} \pi [R(y)]^2 dy$.
- Burada $a$ ve $b$ y-sınırlarıdır.
- 4. İntegrali Kuralım:
- Belirlediğimiz sınırlar $y=0$ (y-ekseni) ve $y=8$.
- Yarıçap fonksiyonumuz $R(y) = y^{1/3}$.
- Bu değerleri formülde yerine koyarsak: $V = \int_{0}^{8} \pi (y^{1/3})^2 dy$.
- İfadeyi basitleştirelim: $V = \int_{0}^{8} \pi y^{2/3} dy$.
- 5. İntegrali Hesaplayalım:
- Sabit $\pi$'yi integral dışına alabiliriz: $V = \pi \int_{0}^{8} y^{2/3} dy$.
- $y^n$ fonksiyonunun integrali $\frac{y^{n+1}}{n+1}$ şeklindedir. Burada $n = 2/3$.
- $n+1 = 2/3 + 1 = 5/3$.
- O halde, $\int y^{2/3} dy = \frac{y^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} y^{5/3}$.
- Şimdi belirli integrali hesaplayalım: $V = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{8}$.
- Önce üst sınırı ($y=8$) yerine koyalım: $\frac{3}{5} (8)^{5/3}$.
- $8^{1/3}$ demek, küpü $8$ olan sayıyı bulmak demektir, bu da $2$'dir.
- Yani, $(8^{1/3})^5 = 2^5 = 32$.
- Bu durumda, $\frac{3}{5} \times 32 = \frac{96}{5}$.
- Şimdi alt sınırı ($y=0$) yerine koyalım: $\frac{3}{5} (0)^{5/3} = 0$.
- Sonucu bulmak için üst sınırdan alt sınırı çıkaralım: $V = \pi \left( \frac{96}{5} - 0 \right)$.
- $V = \frac{96}{5} \pi$.
Böylece, oluşan cismin hacmini $\frac{96}{5} \pi$ birim küp olarak buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
