Hızı 0.6c olan bir roketin içindeki astronot, roketin boyunu 25 m olarak ölçüyor. Dünya'daki bir gözlemci bu roketin boyunu kaç metre olarak ölçer?
A) 15Sevgili öğrenciler, bu soru özel görelilik teorisinin önemli sonuçlarından biri olan boy kısalması (uzunluk büzülmesi) prensibiyle ilgilidir. Bir cisim ışık hızına yakın hızlarda hareket ettiğinde, hareket yönündeki boyu, durgun haldeki boyuna göre daha kısa ölçülür. Şimdi adım adım çözümleyelim:
1. Verilenleri Anlayalım:
Roketin içindeki astronot, roketle birlikte hareket ettiği için roketin kendi referans sistemindedir. Bu durumda astronotun ölçtüğü uzunluk, roketin öz uzunluğu (durgun haldeki uzunluğu) olarak kabul edilir. Bu değeri $L_0$ ile gösteririz.
Verilenler:
- Roketin öz uzunluğu: $L_0 = 25$ m
- Roketin hızı: $v = 0.6c$ (burada $c$ ışık hızıdır)
Bizden istenen, Dünya'daki durgun bir gözlemcinin bu roketin boyunu kaç metre olarak ölçeceğidir. Bu, hareketli cismin boyu, yani $L$ değeridir.
2. Kullanılacak Formülü Belirleyelim:
Boy kısalması formülü aşağıdaki gibidir:
$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
Burada:
- $L$: Hareketli cismin durgun gözlemci tarafından ölçülen boyu
- $L_0$: Cismin öz uzunluğu (kendi referans sisteminde ölçülen boyu)
- $v$: Cismin hızı
- $c$: Işık hızı
3. Değerleri Formülde Yerine Koyalım:
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
$L = 25 \text{ m} \times \sqrt{1 - \frac{(0.6c)^2}{c^2}}$
4. Hesaplamayı Yapalım:
Önce karekök içindeki ifadeyi basitleştirelim:
$L = 25 \times \sqrt{1 - \frac{0.36c^2}{c^2}}$
$c^2$ terimleri sadeleşir:
$L = 25 \times \sqrt{1 - 0.36}$
$L = 25 \times \sqrt{0.64}$
Karekök dışına çıkaralım:
$L = 25 \times 0.8$
Sonucu bulalım:
$L = 20$ m
Yani, Dünya'daki bir gözlemci, hızı $0.6c$ olan roketin boyunu 20 metre olarak ölçecektir. Bu, roketin kendi referans sistemindeki 25 metrelik boyundan daha kısadır, bu da boy kısalması etkisini açıkça göstermektedir.
Cevap B seçeneğidir.
